連接層

連接層とは

数学、特に代数幾何学や複素多様体の理論において、連接層は、その幾何学的性質と密接に関連し、扱いやすい性質を持つ層のクラスです。連接層は、ベクトル束を一般化したものと見なすことができ、ベクトル束とは異なり、連接層の圏はアーベル圏をなすため、核、像、余核といった操作が可能です。

準連接層は、連接層から有限性の仮定を取り除いたもので、無限ランクの局所自由層を含みます。代数幾何学や複素解析における多くの結果や性質は、連接層、準連接層、およびそれらのコホモロジーを用いて表現されます。

定義

環付き空間(X, OX)上のOX加群の層Fが連接層であるとは、以下の性質を持つ場合を指します。

1. 有限型であること:
Xの任意の点xに対して、その開近傍Uが存在し、FのUへの制限F|Uが有限個の切断によって生成されること。つまり、全射OXn|U → F|Uが存在する。
2. 核が有限型であること:
任意のXの開集合U、自然数n、OX加群の射φ: OXn|U → F|Uに対して、φの核が有限型であること。

環の層OXが連接層であるとは、それ自身をOX加群の層とみなしたときに連接であることです。重要な例としては、複素多様体の正則関数の芽の層やネータースキームの構造層があります。

連接層は常に有限表示可能な層です。つまり、Xの各点xは開近傍Uを持ち、FのUへの制限F|Uが、ある整数n, mについて射OXn|U → OXm|Uの余核と同型になることです。OXが連接層であれば、逆もまた真であり、有限表示可能なOX加群の層は連接層です。

準連接層

OX-加群の層Fが準連接層であるとは、局所表示を持つ場合を指します。これは、Xの任意の点xに対して、その開近傍Uが存在し、以下の完全系列が成立することを意味します。


O(I)|U → O(J)|U → F|U → 0


ここで、最初の2つの項は、構造層のコピーの（無限個でもよい）直和です。

連接層の例

ネータースキームX上では、構造層OXは連接層です。
環付き空間X上のOX-加群Fが局所自由であるとは、各点p ∈ Xに対し、pの開近傍Uが存在し、F|UがOX|U-加群として自由である場合をいいます。もしFも連接であれば、逆も正しいです。
X = Spec(R)とし、Rはネーター環とします。すると、R上の有限生成射影加群は局所自由OX-加群とみなすことができます。
岡の連接定理は、複素多様体上の正則関数の層が環の連接層であるという定理です。
ベクトルバンドルの切断の層は連接層です（スキーム上、もしくは、複素解析空間の上）。
Zが複素解析空間Xの閉複素部分空間であれば、Zでゼロとなるすべての正則関数の層IZ/Xは連接層です。同様に、閉部分スキーム上でゼロとなる代数多様体の関数の層は連接層です。
* Xの閉部分スキームや閉解析的部分空間Zの構造層OZはX上の連接層です。

性質

(X, OX)上の連接層の圏はアーベル圏であり、(X, OX)上のOX加群のなすアーベル圏の充満部分圏です。

Rにより、大域切断のなす環Γ(X, OX)を表すとすると、任意のR-加群は自然な方法でOX-加群の準連接層となり、R-加群から準連接層への函手を定めることができます。しかし一般には、すべての準連接層がこの方法でR-加群から得られるわけではありません。

可換環に関するいくつかの結果は、自然に連接層を使い解釈することができます。例えば中山の補題は、Fが連接層であれば、点xでのFのファイバーFx ⊗OX,x k(x)（剰余体k(x)上のベクトル空間）がゼロであることと、層Fがxのある開近傍でゼロであることは同値である、と言い換えることができます。

連接コホモロジー

連接層の層係数コホモロジー論は、連接コホモロジーと呼ばれます。これは層の主要で最も実りの多い応用の一つであり、この結果はただちに古典的な理論と結びついています。

フレシェ空間のコンパクト作用素の定理を使い、カルタンとセールは、コンパクトな複素多様体上では、任意の連接層のコホモロジーは有限次元のベクトル空間になることを証明しました。

スキーム理論の双対性は、連接双対性（もしくはグロタンディークの双対性）と呼ばれます。ある緩やかな有限性条件の下で、代数多様体上のケーラー微分の層Ω1Xは、連接層です。多様体が滑らかなとき、Ω1Xは局所自由層であり、対応するベクトルバンドルはXの余接バンドルです。セール双対性によれば、次元がnである滑らかな射影多様体Xに対し、もっとも次数の高い外積ΩnX = ΛnΩ1Xは、連接層コホモロジーに対し双対対象としてふるまいます。

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