余核

線形写像の余核：定義、性質、そして直感的な理解

線形代数において、ベクトル空間間の線形写像の挙動を理解する上で重要な概念に「余核」があります。本記事では、余核の定義から具体的な例、そして直感的な解釈までを解説します。

余核の定義

ベクトル空間XからYへの線形写像f: X → Y を考えます。この線形写像fの余核(cokernel)とは、Yをfの像im(f)による商空間Y/im(f)のことです。簡単に言うと、Yの中でfによって到達できない部分空間を表しています。余核の次元は、fの余次元(corank)と呼ばれます。

余核は、圏論における核の双対概念として定義されます。核が写像の定義域の部分集合であるのに対し、余核は終域の商集合です。

余核の普遍性

より一般的に、圏論の言葉で余核を定義すると、次のようになります。射f: X → Yの余核とは、対象Qと射q: Y → Qの組であって、qfが圏のゼロ射であり、かつこの性質に関して普遍的なものです。これは、任意の射q': Y → Q'でq'fがゼロ射であるものに対して、一意的な射u: Q → Q'が存在し、q' = uqを満たすことを意味します。

位相的な設定

ヒルベルト空間のような位相空間上の線形作用素を扱う場合、余核を定義する際には、像の閉包をとる必要があります。これは、像が必ずしも閉集合ではないためです。

余核の計算例

アーベル群やベクトル空間、加群などの多くの場合、余核は単純に像による商空間として計算できます。例えば、アーベル群GからHへの準同型f: G → Hの余核は、H/im(f)となります。

余核と核の関係

核と余核は、完全列によって関係付けられます。線形写像T: V → Wに対して、次の完全列が成り立ちます。

0 → ker(T) → V → W → coker(T) → 0

この完全列は、次のように解釈できます。

核ker(T): 斉次方程式T(v) = 0の解空間を表し、解の自由度を表します。
余核coker(T): 方程式T(v) = wが解を持つための制約条件を表し、解が存在するための障害物を表します。

直感的な解釈

線形方程式T(v) = wを解くことを考えましょう。

核は解の空間: 核は、T(v) = 0となるvの集合です。つまり、斉次方程式の解空間です。この空間の次元は、解の自由度を表します。
余核は制約の空間: 余核は、方程式T(v) = wが解を持つためにwが満たすべき条件を表します。この空間の次元は、解が存在するための制約の数を表します。

簡単な例として、T: R² → R²をT(x, y) = (0, y)と定義してみましょう。このとき、T(x, y) = (a, b)が解を持つためには、a = 0でなければなりません。これは1つの制約条件です。解が存在する場合、解は(x, b)という形になります。これは1次元の自由度を持ちます。

まとめ

余核は、線形写像の像空間の補空間を表す概念であり、圏論的な視点からも理解することができます。核と同様に、線形写像の性質を理解する上で重要な役割を果たします。特に、方程式の可解性や解の自由度を解析する際に役立ちます。 余核を理解することで、線形代数や圏論の理解が深まり、より高度な数学の概念を学ぶための基礎が築かれます。

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