運動学的回折理論

運動学的回折理論

運動学的回折理論（英: kinematical diffraction theory）は、物理学における回折現象の理解に用いられる理論です。この理論では、散乱が一度だけ発生する場合、つまりボルン近似に基づいて考えます。重要なポイントは、回折によって入射する光の強度が減少することは考慮しないという点です。これに対し、多重散乱を扱う理論は動力学的回折理論と呼ばれます。

散乱現象の適用範囲

運動学的回折理論は、散乱確率が相対的に低いX線や中性子の回折に適用可能です。ただし、散乱確率が高い電子線の回折には、動力学的なアプローチが必要とされます。このため、電子線の回折を扱う際には、運動学的でなく動力学的な理論が比較的多く用いられます。

電子の散乱と散乱波の波動関数

ある原子が電子に対して弾性散乱を引き起こす場合、相互作用ポテンシャルを V(r) とした時、散乱波の波動関数は以下のように表現されます。

$$
\\psi (\mathbf {r})=e^{i k z}+f(\theta ,\phi)\frac{e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}}{|\mathbf{r}|}
$$

ここで、f(θ, φ) は原子による散乱振幅を示し、原子散乱因子と呼ばれます。電子の散乱において、この原子散乱因子は原子ポテンシャルのフーリエ変換で求められます。

散乱強度の計算

散乱強度、すなわち散乱断面積は、原子散乱因子を用いて次の式で表されます。

$$
I(\theta ,\phi )=|f(\theta ,\phi )|^{2}
$$

ここで、結晶中の電子散乱については、V(r) を結晶の相互作用ポテンシャルに置き換えることで計算が行えます。

結晶構造因子と散乱強度

結晶の相互作用ポテンシャルは並進対称性を持っており、結晶構造因子は以下のように定義されます。

$$
F=-\frac{m}{2\pi \hbar^{2}}\int_{\text{unit cell}} V(\mathbf{r}) e^{i \mathbf{K} \cdot \mathbf{r}} d\mathbf{r}
$$

散乱強度は、この結晶構造因子の絶対値の2乗に比例することが分かります。

$$
I_{\text{crystal}}(\theta ,\phi )=|F|^{2}\prod_{i=1}^{3}\frac{\sin^{2}(N_{i} \mathbf{K} \cdot \mathbf{a}_{i}/2)}{\sin^{2}(\mathbf{K} \cdot \mathbf{a}_{i}/2)}
$$

この方程式は、結晶全体の構造因子が基本構造の干渉と格子干渉の積で表されることを示します。

回折条件とブラッグの法則

回折強度の式に関与する関数が、十分大きなNiの場合に
$$
\mathbf{K} \cdot \mathbf{a}_{i}=2\pi \times n
$$

を満たすときのみ非ゼロになる条件が成り立ちます。この条件はラウエ条件と呼ばれ、結晶の逆格子ベクトルと散乱ベクトルの一致を示します。また、ブラッグの法則もこの式から導出可能です。

X線の運動学的回折理論

電子によるX線散乱の場合、原子散乱因子は電子密度のフーリエ変換に基づいています。これにより、X線を使用した結晶構造因子を導入することで、電子散乱と同様の分析が可能となります。

このように、運動学的回折理論は、さまざまな応用に対して広範な影響を持つ理論であり、回折現象の理解に寄与しています。

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