部分リーマン多様体の接続と曲率

部分リーマン多様体の接続と曲率

本章では、部分リーマン多様体における接続と曲率の関係を考察し、古典的なガウスの曲面論から発展した内容を高次元への拡張に焦点を当てます。具体的には、リーマン多様体 $\bar{M}$ とその部分多様体 $M$ に対し、$M$ のレヴィ・チヴィタ接続やリーマン曲率に関連する重要な概念を扱います。特に、第二基本形式、第三基本形式、主曲率、ガウス曲率、平均曲率、ガウスの定理、ガウス・ボンネの定理などを取り上げます。

リーマン多様体の設定

まず、リーマン多様体 $(\bar{M}, g)$ を考え、$M \subset \bar{M}$ をその部分多様体とします。特別な指定がなければ、通常の「多様体」や「写像」といった用語は $C^\infty$ 級のものを指します。

M の接続と M の接続の関係性

リーマン計量 $g$ に基づくレヴィ・チヴィタ接続 $\bar{
abla}$ を $\bar{M}$ 上で定義します。そして、計量 $g$ を $M$ に制限することで $(M, g)$ もリーマン多様体として扱うことができ、$M$ 上のレヴィ・チヴィタ接続 $
abla$ を考察することができます。

部分多様体 $M$ に関連して、$\bar{M}$ のレヴィ・チヴィタ接続 $\bar{
abla}$ の $M$ への制限 $\bar{
abla}^{M}$ も考慮し、以下の関係式が許可されます：

$$\mathrm{Pr}_P(\bar{
abla}_X^M Y) =
abla_X Y$$

ここで、$\mathrm{Pr}_P$ は接ベクトル空間 $T_P \bar{M}$ の中のベクトルを $T_P M$ に射影する演算子です。

法接続

$M$ の法ベクトル束への接続を基にして、$M$ 上の法接続と関連する射影を再構成できます。点 $P$ に対して定義された射影 $\mathrm{Pr}_P^N$ は法ベクトルバンドル $N_P M$ への射影を行います。

第二基本形式とワインガルテン写像

$M$ に対するレヴィ・チヴィタ接続は、$\bar{M}$ の接続の $TM$ への射影に等しいため、その差は法ベクトル束 $NM$ への射影として解釈できます。また、第二基本形式はガウスの曲面論に由来しています。

曲率の関係式

続いて、$
abla$ によって定まる $M$ の曲率 $R$ と、$\bar{
abla}$ によって定まる $\bar{M}$ の曲率 $\bar{R}$ の関係を考察します。このとき、法ベクトル束における曲率および各種ベクトル場に関連する形式を使用して、重要な関係を導出します。

ガウス写像と Theorema Egregium

特に、部分リーマン多様体におけるガウス写像を通して、曲率の内在性と外在性を考察します。Theorema Egregium から導かれる定理群は、これらの関係性において重要な役割を果たします。

結論

このように、部分リーマン多様体における接続と曲率の関係は、古典的な定理の高次元への拡張を示し、関連する幾何学的構造の深い理解を促進します。この本項で扱った接続や曲率に関する成果は、幾何学的応用や更なる数学的な探求に向けて重要な基盤を築くことが期待されます。

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