レヴィ・チヴィタ接続

レヴィ-チヴィタ接続

レヴィ-チヴィタ接続（Levi-Civita connection）は、リーマン多様体上での共変微分を定義するための特別なアフィン接続です。これは、リーマン多様体がユークリッド空間の部分多様体である場合には、ユークリッド空間での通常の微分と一致するという重要な性質を持っています。また、レヴィ-チヴィタ接続は擬リーマン多様体にも適用することができ、そのため、一般相対性理論などの物理の分野にも利用されています。

この接続は、トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタという数学者の名にちなんで名づけられました。彼は、平行移動の概念を確立し、曲率との関係を考察することで、ホロノミーの現代的理解に寄与しました。レヴィ-チヴィタ接続は、リーマン幾何学において非常に重要な役割を果たしています。

定義と特徴

レヴィ-チヴィタ接続は、以下の性質を満たす共変微分として定義されます。：
1. 接続形式での平行性: 任意のC∞級関数に対して、接続形式に関する線形性。
2. 完全性: 任意の点における局所座標系に依存しない。
3. 計量保存: 共変微分はリーマン計量を保存する。

このように、レヴィ-チヴィタ接続は、一般のリーマン多様体に対しても適用可能であり、その定義は局所座標系の選択に依存することはありません。この接続のクリストッフェル記号（$
abla_X Y$）を用いることで、内在的な微分の計算が可能となります。

幾何学的な解釈

レヴィ-チヴィタ接続によって定義された共変微分は、リーマン多様体上でのベクトル場の変化を追跡する方法を提供します。これにより、ある曲線に沿ったベクトルの動きを簡単に追跡でき、接ベクトルの間の関係を比較することができます。更に、平行移動を考慮することで、ある点から別の点へのベクトルの影響を考察することができます。

平行移動の定義

平行移動は、レヴィ-チヴィタ接続を利用して行うことができ、特定の曲線に沿ってベクトルが変化しない状態を示します。この状態を数学的に表現すると、

$$

abla_{d t} v(t) = 0
$$

という形になります。これは、曲線上の各点におけるベクトル場が、沿った道のりでの「変化しない」という条件を定義しています。

測地線

さらに、レヴィ-チヴィタ接続によって定義された測地線は、弧長パラメータによってパラメータ化された曲線であり、その加速度がゼロであることを表します。これは物理的には、重力等の外部力が作用しない状態での運動を象徴するものです。

曲率との関連

曲率は、レヴィ-チヴィタ接続の重要な応用の一つであり、空間の「曲がり具合」を定義するために役立ちます。曲率テンソルは、レヴィ-チヴィタ接続を用いることで定量化され、リーマン多様体の性質を理解するのに不可欠なツールです。

まとめ

レヴィ-チヴィタ接続は、リーマン多様体における微分幾何の中心的な概念であり、共変微分、平行移動、測地線、曲率など様々な幾何学的な性質を扱う基本的な枠組みとなっています。一般相対性理論における物理的現象を理解するための鍵とも言えるでしょう。

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