和集合

集合族の和集合（合併集合）とは

数学において、複数の集合をまとめる操作である和集合（わしゅうごう）、または合併集合（がっぺいしゅうごう）とは、与えられた集合の集まり（集合族）に含まれる要素を全て集めた集合のことです。

定義

二つの集合 A と B があるとき、その和集合 A ∪ B は、A または B の少なくとも一方に属する要素 x の全体として定義されます。これは以下のように記述できます。

A ∪ B := { x | x ∈ A または x ∈ B }

特に、A と B が共通の要素を持たない場合、この和集合を直和（ちょくわ）または非交和（ひこうわ）と呼びます。この場合、A ∪ B (disjoint) または A ⊔ B と表記されることがあります。

より一般に、集合族 M = {Mλ} (λ ∈ Λ) が与えられたとき、その和集合は、Mλ の少なくとも一つに属する要素 x の全体として定義され、以下のように記述されます。

⋃M ≡ ⋃λ∈Λ Mλ := { x | ∃λ ∈ Λ : x ∈ Mλ }

有限個の集合 A1, A2, ..., Ak の和集合は、A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ak または ⋃(n=1 to k)An と表されます。また、無限個の集合 A1, A2, ... の和集合は、A1 ∪ A2 ∪ ... または ⋃(n=1 to ∞)An と表されます。

集合族のどの二つの集合も互いに共通の要素を持たないとき、その和集合は直和または非交和と呼ばれ、∐M, ⨆M, ∑M, ∑∪M などの記号で表されます。

例

例えば、P = {1, 3, 5, 7, 9} （10以下の奇数の集合）と Q = {2, 3, 5, 7} （10以下の素数の集合）の場合、和集合 P ∪ Q は {1, 2, 3, 5, 7, 9} となります。

また、半開区間の族 M = { (0, 1 - 1/n] | n は0でない自然数 } の和集合は、開区間 (0, 1) となります。

⋃M = ⋃(n=1 to ∞) (0, 1 - 1/n] = (0, 1)

実数全体の集合 R は、長さが1の半開区間の族 { (m, m+1] | mは整数 } の直和に分割できます。

R = ∐(m=-∞ to ∞) (m, m+1]

空なる合併

空集合の和集合は空集合になります。これは、和集合の定義から明らかです。一方、空集合の共通部分は、全体集合になります。

⋃∅ = ∅
∩∅ = U

性質

和集合には、以下の恒等式が成り立ちます。

交換法則:

A ∪ B = B ∪ A

結合法則:

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

分配法則:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

これらの法則は、それぞれ加法の交換法則、結合法則、分配法則に対応します。しかし、集合の演算では、数の演算とは異なり、分配法則が2種類存在することに注意が必要です。

その他の性質:

A ∪ ∅ = A
A ∪ A = A
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc (ド・モルガンの法則)

ここで、∅ は空集合、Ac は A の補集合を表します。A ∪ ∅ = A は、空集合が和集合演算における単位元であることを示しています。A ∪ A = A は、冪等性を示しています。

濃度

有限集合からなる有限な集合族 M = {Mλ} (λ ∈ Λ) に対して、和集合の要素数は以下の式で計算できます。

|⋃M| = ∑(M⊂Λ) (-1)|M|-1 |⋂(λ∈M) Mλ|

この式は、包含と排除の原理に基づいて導かれます。

関連事項

集合の代数学
差集合
共通部分
同値類
論理和
和集合の公理

参考文献

齋藤, 正彦『数学の基礎　集合・数・位相』東京大学出版会, 2002年.
中島, 匠一『集合・写像・論理――数学の基本を学ぶ』共立出版株式会社, 2012年.

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