重み付き残差法

重み付き残差法（Method of Weighted Residuals, MWR）とは

重み付き残差法（MWR）は、微分方程式の境界値問題を解くための近似解法の一つです。この手法では、計算過程で生じる近似解と、微分方程式の一般形から定義される残差に着目します。残差とは、近似解を微分方程式に代入した際に生じる誤差のことです。

MWRでは、この残差に重み関数を掛けて積分した「重み付き残差」を最小化することにより、より適切な解を得ようとします。特に、有限要素法と組み合わせることで、構造力学分野だけでなく、流体力学などの非構造問題の解析にも応用されています。

MWRの概要

微分方程式の一般形は、以下のように表されます。

$$L(u) = f \quad \text{in } \Omega$$

ここで、$L$は未知関数$u$に対する微分作用素、$f$は既知の関数、$\Omega$は定義域を表します。また、境界条件は以下のように表されます。

$$S(u) = 0 \quad \text{on } \Gamma$$

ここで、$S$は境界条件に関する作用素、$\Gamma$は$\Omega$の境界を表します。

真の解$u(x)$を、$N$個の線形独立な基底関数$\psi_k(x)$を用いて以下のように近似します。

$$u \approx U = \sum_{k=1}^{N} \psi_k \alpha_k$$

ここで、$U(x)$は$u(x)$の近似解、$\alpha_k$は未知のパラメータです。

この近似解$U(x)$を微分方程式の一般形に代入すると、残差$r(U)$は以下のようになります。

$$r(U) = L(U) - f = \sum_{k=1}^{N} L(\psi_k) \alpha_k - f \quad \text{in } \Omega$$

残差$r(U)$が0であれば、$U$は微分方程式の厳密解となります。そこで、残差$r(U)$に重み関数$\chi_i$を乗じて定義域全体で積分した「重み付き残差」を以下のように定義し、これを0とすることで、近似解を求めます。

$$\langle \chi_i, r(U) \rangle = 0, \quad i = 1, 2, \dots, N$$

ここで、$\langle \cdot, \cdot \rangle$は内積を表し、関数$\phi_i, \phi_j$に対して以下のように定義されます。

$$\langle \phi_i, \phi_j \rangle = \int_{\Omega} \phi_i(x) \phi_j(x) dx$$

重み付き残差の式は、以下のように書き換えられます。

$$\sum_{k=1}^{N} \langle \chi_i, L(\psi_k) \rangle \alpha_k = \langle \chi_i, f \rangle, \quad i = 1, 2, \dots, N$$

これにより、未知関数$u(x)$に関する微分方程式は、未知パラメータ$\alpha_k$に関する代数方程式に変換されます。この代数方程式を解くことで、近似解$U(x)$が得られます。

重み関数の選び方

重み付き残差法では、重み関数$\chi_i$の選び方によって、いくつかの異なる手法が派生します。

• - 選点法: 重み関数としてディラックのデルタ関数を使用します。
• - 最小二乗法: 残差の二乗和を最小化するように重み関数を選びます。
• - モーメント法: 重み関数として多項式を使用します。
• - ガラーキン法: 重み関数として、未知数の基底関数$\psi_i$を使用します。つまり、$\chi_i = \psi_i$とします。このとき、離散化方程式は次のようになります。

$$\begin{aligned} \langle \chi_i, r(U) \rangle &= \left\langle \psi_i, \sum_{k=1}^{N} L(\psi_k) \alpha_k - f \right\rangle \\ &= \int \psi_i \left( \sum_{k=1}^{N} L(\psi_k) \alpha_k - f \right) dx = 0, \quad i = 1, 2, \dots, N \end{aligned}$$

この関係式から未知パラメータ$\alpha_k$を求め、近似解$U = \sum_{k=1}^{N} \psi_k \alpha_k$を得ます。この時の近似解を、真の解$u$のガラーキン近似といいます。

まとめ

重み付き残差法は、微分方程式の近似解を効率的に求めるための強力な手法です。重み関数の選び方によって多様な解法が利用でき、特にガラーキン法は有限要素法と密接に関連しています。

参考文献

• - 竹内則雄、樫山和男、寺田賢二郎『計算力学』森北出版、2003年9月。ISBN 4-627-91801-1。

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