量子論理

量子論理の概要

量子論理（りょうしろんり、quantum logic）は、量子論に関連する現象を基にした新たな論理体系であり、古典的な論理とは異なる特性を持っています。特に注目すべきは、量子論理においては分配律が成り立たないという点です。この論理体系は、1936年にギャレット・バーコフとジョン・フォン・ノイマンによって提唱され、その後1960年代にかけてさらなる研究が進められました。

量子論理と古典論理の違い

古典的な命題論理は、ブール束に基づいていますが、量子論理はヒルベルト空間上の閉部分空間が形成する直交モジュラー束に沿っています。このため、両者の特徴には明確な違いが見られます。古典力学では、観測可能な物理量はそれぞれの状態から決まるのに対して、量子力学では物理量の決定には必ず相互作用が必要です。この点こそ、量子論理の核心にあたります。

観測と命題の関係

フォン・ノイマンの著作『量子力学の数学的基礎』では、量子力学の「波束の収縮」が、可分複素ヒルベルト空間の線形部分空間への射影を通じて示されました。この考え方では、論理における命題が量子力学において観測とどのように関連付けられるかが示されています。

古典論理では命題の真偽は一意に決まりますが、量子論理では不確定性原理によって同時に確定できる情報に制限があります。たとえば位置と運動量は同時に正確に決めることができず、これは論理の構造に波及します。

直交モジュラー束の性質

量子論理を理解するためには、ヒルベルト空間Hとその閉部分空間の集合L(H)が成す直交モジュラー束に注意を払う必要があります。命題は、閉部分空間の共通部分や和集合によって定義され、これらは論理演算に関連しています。具体的には、共通部分は「AND」を、和集合の閉包は「OR」を、直交補空間は「NOT」を示します。

しかしながら、重要な違いは分配律の不成立です。古典論理では、命題p、q、rに対して、以下のような関係が成り立ちます。

```
p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
```

しかし、量子論理の場合、これは常に成立するわけではありません。たとえば、運動する粒子に関する命題を考えると、次のようになります。

• - p: "粒子は右へ動いている"
• - q: "粒子は原点の左にある"
• - r: "粒子は原点の右にある"

この場合、命題「q ∨ r」は常に真ですが、pが真であるならば、量子論の不確定性原理によりpとqまたはpとrは同時に真ではあり得ません。したがって、分配律が成り立たないのです。

参考文献

• - 前田 周一郎『束論と量子論理』槙書店、1980年。
• - G. Birkhoff and J. von Neumann (1936), The Logic of Quantum Mechanics.
• - 小出 昭一郎『量子力学（I）』（改訂版）裳華房、1990年。
• - David Bohm (1951). Quantum theory. Dover Publications.
• - 広重 徹『物理学史Ⅱ』培風館、1967年。
• - 竹内 外史『線形代数と量子力学』裳華房、1981年。

外部リンク

• - Quantum Logic and Probability Theory - スタンフォード哲学百科事典「量子論理」の詳細な項目。

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