関係代数 (関係モデル)

関係代数とは

関係代数（relational algebra）は、リレーショナルデータベースにおけるデータ操作の理論的基盤となる代数的な演算体系です。エドガー・F・コッドによって提唱され、集合論と一階述語論理に基づいて、関係（リレーション、表、テーブル）として表現されたデータを操作します。

関係代数の概要

関係代数は、関係データベース（リレーショナルデータベース）のデータを操作するための演算体系です。主な特徴として以下の点が挙げられます。

閉包性: 関係代数の演算結果は常に新たな関係となります。これにより、演算結果を次の演算の入力として利用できるため、複雑なデータ操作を組み合わせることが可能です。
集合論と論理: 集合論の概念（和、差、積など）と一階述語論理が基礎となっており、数学的な厳密性を持っています。
演算子: 関係代数には、和、差、交わり、直積、制限、射影、結合、商などの演算子が定義されています。これらの演算子を組み合わせることで、複雑なデータ抽出や操作が可能です。
データベース言語の基礎: 関係代数は、SQLなどのデータベース言語（問い合わせ言語）の理論的な基礎となっています。SQLは関係代数を完全には実装していないとの批判もありますが、多くのデータベースシステムで中心的な役割を担っています。

基本的な考え方

関係代数の基本的な考え方は以下の通りです。

データは関係（テーブル）として表現される: データは、行と列で構成されるテーブル形式で表現されます。
演算は関係を対象に行われる: 関係代数の演算は、一つまたは複数の関係を入力として、新たな関係を生成します。
演算結果はまた関係となる: 演算結果は常に別の関係となるため、演算を連鎖させることができます。

関係代数の演算子

関係代数には、大きく分けて以下の2種類の演算子があります。

1. 集合演算子: 和、差、交わり、直積（集合論に基づく演算子）
2. 関係代数特有の演算子: 制限、射影、結合、商

集合演算子

和 (Union): 二つの関係を足し合わせ、すべての組を含む新しい関係を生成します。重複する組は除外されます。
差 (Difference): 一方の関係から、他方の関係に含まれる組を除外した関係を生成します。
交わり (Intersection): 二つの関係に共通する組だけを含む関係を生成します。
直積 (Cartesian Product): 二つの関係の全ての組を組み合わせた関係を生成します。

関係代数特有の演算子

制限 (Selection): ある条件を満たす組だけを抽出します。特定行を抽出するイメージです。
射影 (Projection): ある属性だけを抽出します。特定列を抽出するイメージです。
結合 (Join): 二つの関係を、共通の属性に基づいて組み合わせます。自然結合、等結合、準結合などがあります。
商 (Division): ある関係で、別の関係に含まれる組と全て関連を持つ組を抽出します。

これらの演算子を組み合わせることで、複雑なデータ抽出や操作を行うことができます。

関係代数と関係論理

関係代数と関係論理（関係計算）は、リレーショナルデータベースのデータ操作のための二つの主要な体系であり、互いに等価です。関係代数で表現された式は、関係論理の式で表現でき、逆もまた同様です。関係論理には、定義域関係論理と組関係論理の2種類があります。

SQLとの関係

SQLは関係代数の演算をベースにしていますが、完全な実装とは言えません。例えば、SQLのテーブルは、関係代数の厳密な定義における「関係」とは異なる部分があります。関係代数におけるいくつかの便利な法則がSQLでは活用できないため、最適化の面で課題が残ります。しかし、SQLは現在最も広く使われているデータベース言語であり、関係代数の概念を理解することは、SQLをより深く理解する上で重要です。

関係モデル

関係代数は関係モデルに基づくため、関係モデルの基本概念を理解する必要があります。

定義域: データ型を表します。
組: 順序づけられていない属性の集合です。
属性: 定義域と値のペアです。
関係変数: 属性名と定義域のペアの集合で、関係の見出しを提供します。
関係: 見出しと組の集合から構成されます。
テーブル: 関係の視覚的表現として使われます。

これらの概念は数学的に定義されますが、実際のデータベース実装ではこれらの定義に厳密に従わない場合があります。

基本的な演算子の詳細

以下に、関係代数の基本的な演算子について詳細に説明します。

和（Union）

二つの関係RとSの和R ∪ Sは、RとSの両方に含まれる組からなる関係です。重複する組は取り除かれます。RとSは型適合（属性名とデータ型が同じ）である必要があります。

例:


R ∪ S


SQL:

sql
R UNION S


Tutorial D:


R UNION S

差（Difference）

関係Rから、関係Sに含まれる組を取り除いた関係R - Sを返します。RとSは型適合である必要があります。

例:


R - S


SQL:

sql
R EXCEPT S


Tutorial D:


R MINUS S

交わり（Intersection）

関係RとSの両方に含まれる組からなる関係R ∩ Sを返します。RとSは型適合である必要があります。

例:


R ∩ S


SQL:

sql
R INTERSECT S


Tutorial D:


R INTERSECT S

直積（Cartesian Product）

関係RとSの全ての組の組み合わせからなる関係R × Sを返します。RとSは型適合である必要はありません。

例:


R × S


SQL:

sql
SELECT FROM R, S


Tutorial D:

直接のサポートはありません。

制限（Selection）

関係Rから、条件φを満たす組だけを取り出した関係を返します。

例:


σφ(R)


SQL:

sql
SELECT FROM R WHERE A = 1


Tutorial D:


R WHERE A = 1

射影（Projection）

関係Rから、属性の集合βだけを取り出した関係を返します。

例:


πβ(R)


SQL:

sql
SELECT A, B FROM R


Tutorial D:


R { A, B }

結合（Join）

結合は2つの関係を組み合わせて新しい関係を作成する演算です。

等結合 (Equijoin): 2つの関係の特定の属性の値が等しい組を結合します。
自然結合 (Natural Join): 2つの関係の共通属性の値が等しい組を結合します。同じ名前の属性は一つになります。
準結合 (Semijoin): 自然結合の結果から、一方の属性のみを射影した関係を返します。

自然結合の例:


R ⋈ S


SQL:

sql
R NATURAL JOIN S


Tutorial D:


R JOIN S

商（Division）

関係Rを関係Sで割った関係を返します。Rの組で、Sの全ての組と関連を持つ組のみを残します。

例:


R ÷ S


SQL:

直接の機能はありません。

Tutorial D:


R DIVIDEBY S

応用的な演算子

関係代数には、より複雑なデータ操作のために、以下のような応用的な演算子も存在します。

属性名変更 (Rename): 関係の属性名を変更します。
拡張 (Extend): 関係に新しい属性を追加します。式に基づいて計算された値を追加できます。
要約 (Summarize): 関係のデータを集計します（合計、平均、最大、最小、件数など）。
外結合 (Outer Join): 結合結果に加え、どちらかの関係にのみ存在する組も結果に含めます。左外結合、右外結合、完全外結合などがあります。

問い合わせ最適化

関係代数を用いた問い合わせは、最適化によって効率的に実行することができます。最適化の主な目標は、関係代数式を、より小さな中間結果を生成する同等の式に変換すること、および複数回出現する共通の式を識別し、一度計算した結果を再利用することです。

制限演算の最適化: 制限演算を問い合わせ木の葉の方向に移動させ、中間結果のサイズを減らします。
直積演算の最適化: 直積演算の前に制限演算を行うことで、結合演算への変換を試みます。
集合演算の最適化: 制限演算を集合演算よりも葉に近い方向に移動させます。

歴史

関係代数は、エドガー・F・コッドが1969年に提唱した関係モデルを基盤としています。コッドは、関係代数をデータベース言語の基礎として位置づけ、その概念は後のSQLなどのデータベース言語に大きな影響を与えました。ISBLという初期のデータベース言語も関係代数の影響を受けています。

関係代数に関連する技術・概念

関係モデル
関係（データベース）
関係論理（関係計算）
関係データベース
関係データベース管理システム（RDBMS）
データベース言語／問い合わせ言語
SQL
D（データベース言語仕様）
Tutorial D
* クエリ最適化

まとめ

関係代数は、リレーショナルデータベースのデータ操作の理論的な基盤となる代数体系です。関係代数の概念を理解することで、データベースのクエリをより効率的に記述し、データベースシステムの内部動作を理解する上で役立ちます。関係代数は、SQLなどのデータベース言語を理解する上でも重要な概念であり、データベースを扱うエンジニアにとって必須の知識と言えるでしょう。

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