離散付値

離散付値についての概要

数学において、離散付値（discrete valuation）は、数理的な構造体として体上の整数付値を表現するための重要な概念です。これは、ある体 $k$ に対して、関数 $
u : k o ext{Z} igcup igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash{ ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { }}}}}}$ が次の条件を満たすときに定義されます。

1. 積に対する加法性：
$
u(x imes y) =
u(x) +
u(y)$
これは、二つの元 $x$ と $y$ の離散付値が、その積の離散付値に対応することを示しています。

2. 和に対する下限性：
$
u(x + y) iggackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash(
u(x),
u(y))$
これは和の離散付値が、成分の離散付値の最小値以上であることを意味します。

3. ゼロに対する特異性：
$
u(x) = ext{ ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ∞ （ぜろ））である場合のみ、$x$ はゼロであることと同じです。$0$ または $ ext{∞}$$ のみに値を持つ自明な付値は、しばしば除外されます。こうした体を持つ場合、非自明な離散付値を有する体は「離散付値体（discrete valuation field）」と呼ばれます。

離散付値環とその性質

離散付値 $
u$ を持つ体に対して、部分環を考慮することができます。$k$ の部分環 $𝒪_k$, は次のように定義されます：

$$ ext{𝒪}_k = igig{iggackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igackslash igg{ igg{ igg{ igg{ igg{igg{x igg{ igg{ igg{igg{igg{igg{igg{igg{igg{ (
u(x) igg{ igg{ igg{ igg{ igg{ igg{ igg { ex { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext { ext {igg{igg {igg { igg{ igg{ igg{ igg { }}}}}}$ これが離散付値環の定義です。

残念ながら、離散付値環 $A$ の上における付値 $
u : A → ext{Z} igcup ext{∞}$ は、その商体 $ ext{Quot}(A)$ に拡張可能で、離散付値体 $k$ を生成します。このとき生成される離散付値環 $𝒪_k$ はもともとの環 $A$ と一致します。

具体例

特定の素数 $p$ に対して、$Q$ の任意のゼロでない元 $x$ を次の形で表せます。

$$x = p^j rac{a}{b}$$
ここで、$j, a, b$ は全て整数 ($ ext{Z}$) で、$p$ は $a$ および $b$ を割ることはありません。このとき、$
u(x) = j$ となります。ここで得られる付値は p-進付値（p-adic valuation）と呼ばれます。

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このように、離散付値は体の数理的な性質を理解するための重要な道具です。

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