非負行列

非負行列の概要

非負行列とは、全ての要素が0以上で構成される行列のことを指します。この行列は、数学のさまざまな分野で用いられ、特に確率論や統計、最適化において重要な役割を果たします。非負行列とは、一般的に次のように定義されます。

\[ \mathbf{X} \geq 0, \quad \forall i,j, \; x_{ij} \geq 0 \]

ここで、行列 \( \mathbf{X} \) の各成分 \( x_{ij} \) は、すべてゼロ以上である必要があります。このような行列は、正行列と呼ばれる、すべての成分が厳密にゼロより大きい行列の一部を含むことに注意が必要です。すなわち、正行列は非負行列の特別なケースであるとも言えます。

非負行列の特性

非負行列の一つの重要な応用は、マルコフ連鎖の遷移行列としての役割です。この遷移行列のすべての要素は確率を表すため、非負でなければなりません。さらに、長方形の非負行列は、非負行列因子分解を利用して二つの他の非負行列に分解することが可能です。

また、正行列の固有値と固有ベクトルに関しては、ペロン＝フロベニウスの定理が重要な役割を果たします。この定理によって、正行列の性質についての多くの知見が得られています。

逆行列と特殊な非負行列

非特異な \( M \)-行列の逆行列は、原則として非負行列となります。もしこの行列が対称であれば、スティルチェス行列と呼ばれますが、一般に非負行列の逆行列が必ずしも非負であるわけではありません。例外としては、非負の単項行列があり、これはその逆も非負であることが必要かつ十分な条件です。

特に、次元が \( n > 1 \) の場合、正行列は単項行列ではありませんので、その逆行列が正や非負でないこともよくあり、ここでは注意が必要です。

特殊化された非負行列

非負行列にはいくつかの特殊なグループが存在します。確率行列や二重確率行列、対称非負行列などはその一例です。これらの特殊な行列は、特定の条件や用途に応じて設計されており、特に非常に活用されることが多いです。

参考文献

非負行列に関するより詳細な情報やデータについては、以下の文献を参照してください：

• - Abraham Berman, Robert J. Plemmonsによる『Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences』 (1994, SIAM)
• - A. Berman and R. J. Plemmonsによる『Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences』 (Academic Press, 1979)
• - Richard S. Vargaの『Matrix Iterative Analysis』 (2002)

このように、非負行列に関する知識は、数学や他の多くの分野での解析や問題解決に欠かせない要素となっています。

もう一度検索