ペロン＝フロベニウスの定理

ペロン＝フロベニウスの定理：正行列と非負行列の固有値と固有ベクトルの性質

ペロン＝フロベニウスの定理は、線形代数学において、正方行列の固有値と固有ベクトルの性質に関する重要な定理です。この定理は、オスカー・ペロンとゲオルク・フロベニウスによって証明され、成分が正の実数である正行列、および特定の条件を満たす非負行列に対して、固有値と固有ベクトルの重要な性質を記述しています。

定理の内容

ペロン＝フロベニウスの定理は、大きく分けて正行列の場合と非負行列の場合に分けられます。

1. 正行列の場合:

全ての成分が正の実数であるn×nの正行列Aについて、以下の性質が成り立ちます。

最大固有値の存在: Aは、正の実数である最大固有値r（ペロン根またはペロン＝フロベニウス固有値と呼ばれる）を持ちます。このrは、Aの他の全ての固有値λの絶対値より真に大きいです（|λ| < r）。
最大固有値の単純性: 最大固有値rは、Aの特性多項式の単純根です。つまり、rに対応する固有空間は一次元です。
正の固有ベクトルの存在: Aは、固有値rに対応する固有ベクトルv=(v₁, v₂,…,vₙ)を持ち、その全ての成分は正の[実数]となります。同様に、正の左固有ベクトルも存在します。
正の固有ベクトルの唯一性: 固有値rに対応する正の固有ベクトルは、定数倍の違いを除いて唯一です。
行列ベキの収束: Aᵏ/rᵏ (k→∞) は、正の右固有ベクトルvと正の左固有ベクトルwを用いてvwᵀに収束します。このvwᵀはペロン射影と呼ばれ、rに対応する固有空間への射影となります。
コラッツ＝ヴィーランドの公式: ペロン根rは、特定の実数値関数の最大値として特徴付けられます。

2. 非負行列の場合:

全ての成分が非負の実数であるn×nの非負行列Aに対しては、正行列の場合のように単純な結果が得られるとは限りません。しかし、既約行列という特別なクラスの非負行列に対しては、正行列の場合と類似した結果が得られます。

既約行列とは、いくつかの同値な定義によって特徴づけられる行列です。例えば、対応する有向グラフが強連結であること、非自明な不変部分空間を持たないことなどです。既約な非負行列Aについて、以下の性質が成り立ちます。

最大固有値の存在: Aは、正の実数である最大固有値r（ペロン根）を持ちます。
最大固有値の単純性: ペロン根rは、Aの特性多項式の単純根です。
正の固有ベクトルの存在: Aは、固有値rに対応する正の右固有ベクトルと正の左固有ベクトルを持ちます。
その他の固有値: Aは、絶対値がrと等しい他の固有値を持つ可能性がありますが、これらの固有値はペロン根rに1のh乗根を掛けたものとして表され、hは行列Aの周期と呼ばれる整数です。周期が1の場合、行列は非振動的と呼ばれます。周期が1の既約な非負行列は原始的と呼ばれ、正行列と同様の性質を持ちます。

既約行列の判定

既約行列かどうかを判定する方法はいくつかあります。

定義1: 非自明な不変部分空間を持たない。
定義2: 置換行列を用いて上三角ブロック行列に相似変換できない。
定義3: 任意の添字のペア(i,j)に対し、(Aᵐ)ᵢⱼ > 0 となる自然数mが存在する。
定義4: 行列に対応する有向グラフが強連結である。

応用

ペロン＝フロベニウスの定理は、様々な分野で応用されています。

確率論: マルコフ連鎖の定常分布、エルゴード性
力学系: 有限タイプのサブシフト
経済学: レオンチェフの産業連関表、置塩の定理
人口学: レスリー行列モデル
数値解析: 反復法の収束判定
インターネット検索エンジン: ページランクアルゴリズム
* スポーツランキング: チームの強さ評価

まとめ

ペロン＝フロベニウスの定理は、正行列や既約な非負行列の固有値と固有ベクトルの性質を明らかにする重要な定理であり、その応用範囲は非常に広いです。この定理は、様々な現象を数学的にモデル化し、解析する上で強力なツールとなっています。 さらに、定理の拡張として、コンパクト作用素への一般化なども研究されています。

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