3囚人問題

3囚人問題

3囚人問題は、確率論の不思議な現象を扱った問題で、1959年にマーティン・ガードナーによって知られるようになりました。本問題では、監獄に閉じ込められた3人の囚人（A、B、C）が登場します。彼らは、近々すべて処刑される運命にありますが、突如として恩赦が出され、1人だけが救われることになります。ただし、誰が恩赦を受けるのかは明らかにされず、囚人たちは不安な日々を送ります。

問題の設定

監獄にいる3人の囚人はそれぞれ自分が恩赦を受ける可能性を1/3と考えています。しかし、囚人Aは自らの心境を安定させるため、一計を案じます。看守に対して、「BかCのどちらが処刑されるのか、教えて欲しい」と頼みます。すると、看守は「Bは処刑される」と答えました。

この情報を受けて、囚人Aは喜びます。なぜなら、Bが確実に処刑されるなら、自分かCが救われることになるため、Aが恩赦を受ける確率は1/2に上昇したと考えたからです。しかし、果たしてこの思考は正しいのでしょうか？

解答の道筋

まず、起こりうる事象を整理しましょう。囚人A、B、Cがそれぞれ恩赦を受ける確率は1/3としましょう。看守は囚人自身については答えず、Bが恩赦を受ける場合には「Cは処刑になる」と、Cが受ける場合には「Bは処刑になる」と必ず言います。しかし、Aが恩赦を受ける場合、看守は回答を選ぶことが可能です。

このため、囚人Aが喜んだ根拠は「Bが処刑される」との情報を聞いた後に、A自身が恩赦を受ける確率がどう変わるかが重要です。事後確率を求めてみましょう。ベイズの定理を用いると、Aが恩赦を受ける確率は以下のように計算されます：

$$
Pr[A|b] = \frac{Pr[b|A] \cdot Pr[A]}{Pr[b]} = \frac{Pr[b|A] \cdot \frac{1}{3}}{Pr[b|A] \cdot \frac{1}{3} + 0 + 1 \cdot \frac{1}{3}}
$$

ここから、Aが恩赦を受ける確率は、看守がどのような答えを選ぶか、すなわち$Pr[b|A]$によって変わります。

• - Pr[b|A] = 1 の場合、$Pr[A|b] = rac{1}{2}$（囚人Aが喜んだのは正しい）
• - Pr[b|A] = rac{1}{2} の場合、$Pr[A|b] = rac{1}{3}$（囚人Aが喜んだのは誤り）
• - Pr[b|A] = 0 の場合、$Pr[A|b] = 0$（囚人Aが喜んだのは誤り）

従って、囚人Aが喜んだのが正しかったり間違っていたりするかは、囚人Aが看守の性格に基づいて持つ情報によります。もし彼が、看守がBを嫌っており、必ず「Bが処刑される」と言う可能性が高いと考えた場合、彼の喜びは正しいことになります。

確率が均等でない場合

もし恩赦の確率が均等でない場合、例えばA=1/4、B=1/4、C=1/2と仮定すると、囚人の恩赦確率は変わります。Bが処刑されるとの情報を受けて、Aの恩赦確率が逆に低下する可能性もあります。このように、確率の設定により、囚人Aの喜びが正しいかどうかの判断は変わります。

心理学的側面

直感と実際の確率の不一致、そして解説を受けても納得できない理由は、認知心理学において重要な研究テーマとされています。ある実験では、看守の言葉を聞いた後のAが恩赦を受ける確率について、76%が1/2と答えた一方で、確率の背景に触れた場合、この割合は逆転したのです。このことから、直感に反する確率の理解が難しいことが示唆されています。

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