4次元多様体
数学において、4次元多様体とは、局所的に4次元ユークリッド空間と同相な位相空間、すなわち4次元の位相多様体を指します。特に、滑らかな構造を持つものは滑らかな4次元多様体と呼ばれます。
興味深いことに、4次元多様体の世界は、3次元以下の低次元や5次元以上の高次元とは全く異なる特異な性質を示します。他の次元では位相的な分類と滑らかな分類が密接に関連しているのに対し、4次元ではその間に大きな乖離が見られます。具体的には、滑らかな構造を持つことができない4次元多様体が存在したり、たとえ滑らかな構造が存在したとしても、同相でありながら微分同相ではない、つまり異なる滑らかな構造を持つ多様体が存在します（これらはエキゾチック多様体と呼ばれます）。
4次元の位相多様体の研究において、特に単連結でコンパクトな多様体のホモトピー型は、その中間次元ホモロジー上の交叉形式と呼ばれる代数的構造にのみ依存することが知られています。
M. フリードマンは1982年に画期的な定理を発表しました。この定理によれば、このような多様体の同相タイプは、この交叉形式と、カービー・ジーベンマン不変量と呼ばれるZ/2Zの値によって完全に決定されます。さらに、考えられるすべてのユニモジュラー形式（交叉形式として現れる可能性のある形式）とカービー・ジーベンマン不変量の組み合わせに対して、対応する位相多様体が存在することも示しました（ただし、形式が偶数の場合は、カービー・ジーベンマン不変量が(符号)/8 mod 2という特定の条件を満たす必要があります）。
この定理から、いくつかの重要な例が導かれます。
交叉形式が自明な0である場合、これは4次元位相多様体版のポアンカレ予想を意味します（単連結でコンパクトな4次元位相多様体は4次元球面と同相であるか、という問題）。
交叉形式が特定のE8形式である場合、E8多様体と呼ばれる多様体が存在しますが、これはどのような単体複体とも同相ではないことが示されています。
* 交叉形式がZである場合、カービー・ジーベンマン不変量の値に応じて二種類の多様体が存在します。一つは2次元複素射影空間(CP^2)であり、もう一つはそれとは同相ではない「フェイク射影空間」です。これらはホモトピー同値ですが、同相ではないため、滑らかな構造を持つことができません。
フリードマンの分類は、基本群が比較的単純な場合（例えばZ）にも拡張されます。しかし、基本群があまりに複雑になると、彼の用いた手法は適用できなくなり、そのような多様体についてはほとんど分かっていません。一般的に、任意の群を基本群に持つ滑らかなコンパクト4次元多様体を構成することは容易ですが、二つの多様体が同じ基本群を持つかどうかを判定する一般的なアルゴリズムは存在しません。これは、群の有限表示の同型問題を解くアルゴリズムがないことと関連しており、このため4次元多様体の研究の多くは単連結な場合に焦点が当てられています。
区分線形(PL)構造を持つ多様体は、6次元以下においては本質的に一通りの方法で滑らかな構造を与えることができるため、4次元のPL多様体と滑らかな多様体の理論は密接に関連しています。
滑らかな4次元多様体の研究における主要な課題は、単純でコンパクトな多様体を分類することです。これは二つの問題に分解できます。
1. 与えられた位相多様体が、滑らかな構造を持つか？
2. 滑らかな構造を持つ多様体上に、異なる滑らかな構造はいくつ存在するか？
最初の問題に対しては、単連結でコンパクトな4次元多様体の場合、ほぼ完全な答えが得られています。滑らかな構造を持つためには、カービィ不変量がゼロであることが必要です。さらに、交叉形式が有限な場合、S.K.ドナルドソンが1983年に発表した定理が決定的な役割を果たします。彼の定理によれば、滑らかな構造が存在することと、交叉形式がある特定の性質（対角化可能であること）を持つこととは同値です。しかし、交叉形式が不定値かつ偶数の場合、話は複雑になります。ある条件下（例えば交叉形式がII_{m,n}の特定の形である場合）では、m ≥ 3nであれば滑らかな構造が存在する一方、m ≤ 2nの場合は存在しないことが古田幹雄によって証明されました。この10/8と11/8の間のギャップにおける存在問題は、現在も未解決です。
対照的に、第二の問題、すなわち滑らかな多様体上の異なる滑らかな構造を分類することは、ほとんど進んでいません。驚くべきことに、個別の滑らかな4次元多様体上で、異なる滑らかな構造がいくつ存在するか完全に分かっている例はほとんどありません。ドナルドソンは、ドルガチェフ曲面のような、可算無限個の異なる滑らかな構造を持つ単連結コンパクト4次元多様体が存在することを示しました。さらに、4次元ユークリッド空間R^4上には、通常の滑らかな構造とは異なる、非可算無限個もの「エキゾチックR^4」と呼ばれる滑らかな構造が存在します。
フィンツシェルとスターンは、手術と呼ばれる手法を用いて、多くの滑らかな多様体上に多数の異なる滑らかな構造を構成する方法を示しました。サイバーグ・ウィッテン不変量などの手法を用いることで、これらの構造が実際に異なることを証明しています。これらの結果は、単連結でコンパクトな滑らかな4次元多様体の分類が極めて複雑であることを示唆しています。現在、この分類がどのような形になるかについての一般的な予想は立てられていません（かつては代数曲面やシンプレクティック多様体の連結和で尽くされるといった予想がありましたが、これらは否定されています）。
4次元は、他の次元とは異なる振る舞いを見せる特異な次元です。多くの定理が3次元以下または5次元以上では成り立つにも関わらず、4次元では成り立たないという現象が見られます。
その代表的な例の一つに、ホイットニーのトリックの失敗が挙げられます。高次元（2n次元、n>=3）では、多様体内の二つのn次元部分多様体が孤立した点で交わる場合、ホイットニーのトリックという手法を用いることで、これらの交点を解消することができます。これは、交点を囲む2次元円板を埋め込み、その円板を横切るようにイソトピー変形を行うことで実現されます。しかし、4次元（n=2）の場合、解消したい交点を囲むのは2次元円板であり、これは多様体自身の中間次元に相当します。2次元円板を多様体内に「うまく」埋め込むこと自体が、解消したい交点のタイプと同じ困難さを持つ問題になってしまうのです。このように、中間次元での埋め込みの難しさが直接的に手法の失敗につながるという現象は、次元4で特有に見られるものです。
興味深いことに、4次元多様体の世界は、3次元以下の低次元や5次元以上の高次元とは全く異なる特異な性質を示します。他の次元では位相的な分類と滑らかな分類が密接に関連しているのに対し、4次元ではその間に大きな乖離が見られます。具体的には、滑らかな構造を持つことができない4次元多様体が存在したり、たとえ滑らかな構造が存在したとしても、同相でありながら微分同相ではない、つまり異なる滑らかな構造を持つ多様体が存在します（これらはエキゾチック多様体と呼ばれます）。
4次元位相多様体の分類
4次元の位相多様体の研究において、特に単連結でコンパクトな多様体のホモトピー型は、その中間次元ホモロジー上の交叉形式と呼ばれる代数的構造にのみ依存することが知られています。
M. フリードマンは1982年に画期的な定理を発表しました。この定理によれば、このような多様体の同相タイプは、この交叉形式と、カービー・ジーベンマン不変量と呼ばれるZ/2Zの値によって完全に決定されます。さらに、考えられるすべてのユニモジュラー形式（交叉形式として現れる可能性のある形式）とカービー・ジーベンマン不変量の組み合わせに対して、対応する位相多様体が存在することも示しました（ただし、形式が偶数の場合は、カービー・ジーベンマン不変量が(符号)/8 mod 2という特定の条件を満たす必要があります）。
この定理から、いくつかの重要な例が導かれます。
交叉形式が自明な0である場合、これは4次元位相多様体版のポアンカレ予想を意味します（単連結でコンパクトな4次元位相多様体は4次元球面と同相であるか、という問題）。
交叉形式が特定のE8形式である場合、E8多様体と呼ばれる多様体が存在しますが、これはどのような単体複体とも同相ではないことが示されています。
* 交叉形式がZである場合、カービー・ジーベンマン不変量の値に応じて二種類の多様体が存在します。一つは2次元複素射影空間(CP^2)であり、もう一つはそれとは同相ではない「フェイク射影空間」です。これらはホモトピー同値ですが、同相ではないため、滑らかな構造を持つことができません。
フリードマンの分類は、基本群が比較的単純な場合（例えばZ）にも拡張されます。しかし、基本群があまりに複雑になると、彼の用いた手法は適用できなくなり、そのような多様体についてはほとんど分かっていません。一般的に、任意の群を基本群に持つ滑らかなコンパクト4次元多様体を構成することは容易ですが、二つの多様体が同じ基本群を持つかどうかを判定する一般的なアルゴリズムは存在しません。これは、群の有限表示の同型問題を解くアルゴリズムがないことと関連しており、このため4次元多様体の研究の多くは単連結な場合に焦点が当てられています。
4次元滑らかな多様体の分類
区分線形(PL)構造を持つ多様体は、6次元以下においては本質的に一通りの方法で滑らかな構造を与えることができるため、4次元のPL多様体と滑らかな多様体の理論は密接に関連しています。
滑らかな4次元多様体の研究における主要な課題は、単純でコンパクトな多様体を分類することです。これは二つの問題に分解できます。
1. 与えられた位相多様体が、滑らかな構造を持つか？
2. 滑らかな構造を持つ多様体上に、異なる滑らかな構造はいくつ存在するか？
最初の問題に対しては、単連結でコンパクトな4次元多様体の場合、ほぼ完全な答えが得られています。滑らかな構造を持つためには、カービィ不変量がゼロであることが必要です。さらに、交叉形式が有限な場合、S.K.ドナルドソンが1983年に発表した定理が決定的な役割を果たします。彼の定理によれば、滑らかな構造が存在することと、交叉形式がある特定の性質（対角化可能であること）を持つこととは同値です。しかし、交叉形式が不定値かつ偶数の場合、話は複雑になります。ある条件下（例えば交叉形式がII_{m,n}の特定の形である場合）では、m ≥ 3nであれば滑らかな構造が存在する一方、m ≤ 2nの場合は存在しないことが古田幹雄によって証明されました。この10/8と11/8の間のギャップにおける存在問題は、現在も未解決です。
対照的に、第二の問題、すなわち滑らかな多様体上の異なる滑らかな構造を分類することは、ほとんど進んでいません。驚くべきことに、個別の滑らかな4次元多様体上で、異なる滑らかな構造がいくつ存在するか完全に分かっている例はほとんどありません。ドナルドソンは、ドルガチェフ曲面のような、可算無限個の異なる滑らかな構造を持つ単連結コンパクト4次元多様体が存在することを示しました。さらに、4次元ユークリッド空間R^4上には、通常の滑らかな構造とは異なる、非可算無限個もの「エキゾチックR^4」と呼ばれる滑らかな構造が存在します。
フィンツシェルとスターンは、手術と呼ばれる手法を用いて、多くの滑らかな多様体上に多数の異なる滑らかな構造を構成する方法を示しました。サイバーグ・ウィッテン不変量などの手法を用いることで、これらの構造が実際に異なることを証明しています。これらの結果は、単連結でコンパクトな滑らかな4次元多様体の分類が極めて複雑であることを示唆しています。現在、この分類がどのような形になるかについての一般的な予想は立てられていません（かつては代数曲面やシンプレクティック多様体の連結和で尽くされるといった予想がありましたが、これらは否定されています）。
4次元特有の現象
4次元は、他の次元とは異なる振る舞いを見せる特異な次元です。多くの定理が3次元以下または5次元以上では成り立つにも関わらず、4次元では成り立たないという現象が見られます。
その代表的な例の一つに、ホイットニーのトリックの失敗が挙げられます。高次元（2n次元、n>=3）では、多様体内の二つのn次元部分多様体が孤立した点で交わる場合、ホイットニーのトリックという手法を用いることで、これらの交点を解消することができます。これは、交点を囲む2次元円板を埋め込み、その円板を横切るようにイソトピー変形を行うことで実現されます。しかし、4次元（n=2）の場合、解消したい交点を囲むのは2次元円板であり、これは多様体自身の中間次元に相当します。2次元円板を多様体内に「うまく」埋め込むこと自体が、解消したい交点のタイプと同じ困難さを持つ問題になってしまうのです。このように、中間次元での埋め込みの難しさが直接的に手法の失敗につながるという現象は、次元4で特有に見られるものです。
もう一度検索
【記事の利用について】
タイトルと記事文章は、記事のあるページにリンクを張っていただければ、無料で利用できます。
※画像は、利用できませんのでご注意ください。
【リンクついて】
リンクフリーです。