ホモトピー

ホモトピーとは

数学、特に位相幾何学におけるホモトピーは、幾何学的対象（点、線、面など）や、それらの間の連続写像が「連続的に」変化するという概念を形式化したものです。位相幾何学では、連続的な変形によって保たれる性質を重視します。これらの性質は通常、連続写像を通して定義され、ホモトピーは、連続的に変化する連続写像の「族」によって定義されます。ホモトピー的な不変量は、位相幾何学の研究における基本的なツールです。

例えば、図形に「穴」がある場合、端が固定された曲線は、その穴を越えて連続的に変形することはできません。この性質を利用して、ホモトピーは「穴」の有無や、図形の基本的な構成要素の連結構造を調べることができます。

ホモトピーの重要な応用は、空間や写像といった幾何学的対象に対して、群や準同型といった代数的対象を対応させることです。これにより、複雑な幾何学的問題を、より扱いやすい代数的構造に変換できます。このアプローチは、代数的位相幾何学として知られています。

基本群

道 (Path) の概念

ホモトピーの最も基本的な例として、1次元の位相空間からの連続写像を考えます。まず、「道 (path)」という概念を定義します。これは、線分の厳密な抽象化です。

位相空間 X 内の道とは、閉区間 I = [0, 1] から X への連続写像 α のことです。α(0) は道の「始点」、α(1) は「終点」と呼ばれます。

写像 α の像は X 内の連続曲線となりますが、「道」という言葉は写像 α そのものを指し、その像である曲線を指すものではありません。道は、同じ点を複数回通っても構いません。例えば、閉区間 I のすべての点を１点に写す写像も「道」とみなされ、これは「定値道」と呼ばれます。

始点と終点が一致する道は「閉道 (closed path)」または「ループ (loop)」と呼ばれます。閉道の始点（同時に終点）は「基点 (base point)」と呼ばれます。基点以外で自分自身と交わらない閉道は「サイクル」と呼ばれることもあります。

ホモトピー写像

連続関数 H: [0, 1] × [0, 1] → X があり、X 内の2つの道 α, β に対して、

H(0, t) = α(t) かつ H(1, t) = β(t)

を満たすとき、H は道 α と β の間の「ホモトピー」または「ホモトピー写像」と呼ばれます。道 α と β の間にホモトピーが存在するとき、α と β は「ホモトープ (homotop)」または「ホモトピック (homotopic)」であると言い、 α ≃ β と表記します。

特に、始点と終点を共有する2つの道について、それらの始点と終点を固定したまま変形できるようなホモトピーは、「道ホモトピー」または「端点を固定するホモトピー」と呼ばれます。直感的には、ホモトピックな2つの道は、片方をX内で動かすことで、もう片方に連続的に変形できることを意味します。

「ホモトピー型が同じである」という関係 ≃ は同値関係であり、同値類を定義できます。この同値関係に関して道 α が属する同値類を、α の「ホモトピー類」と呼び、[α] などで表します。

道の積と逆道

2つの道を端点で「つなぐ」ことで、道の積 を定義できます。道 α と β に対して、α(1) = β(0) が成り立つとき、

αβ(t) =
α(2t) (0 ≤ t ≤ 1/2),
β(2t - 1) (1/2 < t ≤ 1)

と定義します。

また、道の向きを逆にする操作によって、「逆道」が定義されます。道 α に対して、α の逆道 α⁻¹ は、α⁻¹(t) = α(1 - t) と定義されます。

基本群の定義

位相空間 X 内の1点 p を固定し、p を基点とする閉道の全体 Ω(X, p) を考えると、これは道の積に関して閉じています。これを、道ホモトピー型が同じという関係で割って得られる商集合 π₁(X, p) には、

[α][β] := [αβ], [α]⁻¹ := [α⁻¹]

という演算が定義できます。π₁(X, p) はこの演算によって群をなし、X の p を基点とする「基本群 (fundamental group)」または「1次元ホモトピー群」、あるいは「ポアンカレ群」と呼ばれます。

位相空間間の連続写像 f: X → Y は、道の対応 α → fα によって、基本群の間の準同型写像 f: π₁(X, p) → π₁(Y, fp) を導きます。この誘導された準同型写像は、f のホモトピー型にのみ依存します。

ホモトピーの定義

位相空間 X, Y の間の連続写像の族 {fₜ}ₜ∈[0,1]: X → Y を考えます。写像 H(s, t) = fₜ(s): X × [0, 1] → Y が連続であるとき、これを「ホモトピー」と呼びます。連続写像 f₀ と f₁ は「ホモトピック」である、または「同じホモトピー型を持つ」と言います。

ホモトピー群

位相空間における閉道は、基点を持つ1次元球面 S¹ からの連続像とみなすことができます。この概念は、より高次元の場合に拡張できます。

位相空間 X とその点 p を固定し、p を基点とする n 次元球面 Sⁿ (の X への連続像) の全体 Ωₙ(X, p) を考えます。これをホモトピー型が同じという関係で割って得られる商集合 πₙ(X, p) は群を成します。この πₙ(X, p) を「n 次元ホモトピー群」と呼びます。基本群と同様に、位相空間間の連続写像は、高次ホモトピー群の間にも準同型写像を導きます。

ホモトピー同値

位相空間 X, Y が与えられたとき、連続写像 f: X → Y, g: Y → X が存在し、

f ∘ g ≃ idY, g ∘ f ≃ idX

が成り立つ場合、X と Y は「ホモトピー同値 (homotopy equivalent)」であると言います。ホモトピー同値は、位相同型よりも粗い同値関係を与えます。例えば、1点とユークリッド空間 Rⁿ は同じホモトピー型を持ちますが、n 次元球面 Sⁿ はすべて互いに異なるホモトピー型を持ちます。

ホモトピーの性質

ホモトピー群は、ホモトピー不変量であり、特に位相不変量でもあります。

0 次基本群は、位相空間の連結性を知る指標となります。

X が弧状連結な位相空間である場合、その基本群は基点 p の取り方によらず同型です。このため、基点を明記せずに π₁(X) と書くことがあります。

2次元以上のホモトピー群や、位相群の基本群は可換群になります。

ホモトピーの歴史

「連続的変形」の概念は古く、ラグランジュの変分法の研究にまで遡ることができます。「ホモトピー」という言葉は、Dehn & Heegaard (1907) によって導入されました。現代の定義と本質的に同じホモトピーの定義は、ブラウワーによって1911年の論文で与えられました。直積空間がチコノフによって1926年に定義されたため、完全に現代と同じ定義が行われるようになったのは、それ以降です。

参考文献

I.M. シンガー、J.A. ソープ『トポロジーと幾何学入門』培風館、1995年。ISBN 978-4563001506。
Hatcher, Allen (2001). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 978-0521795401

歴史関連

Eynde, Ria Vanden (1992). “Historical Evolution of the Concept of Homotopic Paths”. Archive for History of Exact Sciences 45 (2): 127–188. ISSN 0003-9519. JSTOR 41133947.
Dehn, M.; Heegaard, P. (1907). “Analysis situs”. Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften. III AB3. pp. 153–220.

もう一度検索