9項補題

9項補題（Nine Lemma）

9項補題は、数学、特にホモロジー代数学や圏論の文脈で用いられる、可換図式と完全列に関する基本的な定理の一つです。これは、アーベル圏（アーベル群の圏やベクトル空間の圏など、多くの重要な圏が含まれる）や、より一般的な群の圏においてその有効性が示されます。この補題は、特定の条件下で、3行3列の構造を持つ可換図式のある行が完全列であることを保証するものです。

定理の主張

この補題が扱うのは、以下のような3行3列の構造を持つ可換図式です。ここに現れる各対象とそれらを結ぶ射（矢印）は、特定の圏における対象と射を表します。

mermaid
graph LR
A1 > A2 > A3
| | |
v v v
B1 > B2 > B3
| | |
v v v
C1 > C2 > C3


この図式が「可換」であるとは、どの二つの対象を選んでも、それらを結ぶ異なる経路を通る射の合成が常に等しくなる性質を指します。また、「完全列」とは、対象と射が線状に並んだ系列において、各段階における射の像（image）が次の射の核（kernel）と一致する性質を持つ列のことです。

9項補題は、この種の可換図式において、以下の二つのケースのいずれかが成立する場合に結論を導きます。

1. もし図式中のすべての縦の列と、下の二つの横の行（B1 → B2 → B3 と C1 → C2 → C3）がそれぞれ完全列であるならば、一番上の横の行（A1 → A2 → A3）もまた完全列になります。

2. 同様に、もし図式中のすべての縦の列と、上の二つの横の行（A1 → A2 → A3 と B1 → B2 → B3）がそれぞれ完全列であるならば、一番下の横の行（C1 → C2 → C3）もまた完全列になります。

証明の概略

9項補題の証明は、いくつかの方法で行うことができます。一つは、いわゆる「diagram chasing（図式追跡）」と呼ばれる手法を用いる直接的な証明です。これは、図式の要素（圏の対象の元）を追跡し、射の性質（単射性、全射性、像や核の関係など）を丹念に調べることで、定理の結論を導く方法です。

もう一つの証明方法は、ホモロジー代数における非常に強力な道具である「蛇の補題（Snake Lemma）」を応用するものです。具体的には、上記のケース1を証明する際には下の二つの行に対して、ケース2を証明する際には上の二つの行に対して、それぞれ適切に蛇の補題を適用することで、9項補題を導くことができます。

風刺的な視点

数学者カール・リンダーホルムは、彼の著書『Mathematics Made Difficult』（数学を難しくする）の中で、9項補題を含むホモロジー代数の図式証明に対する風刺的な見解を示しています。彼は三目並べの盤のような図を描き、それを曲線矢印で埋め、盤の外に点を置き、複雑な手の動きを伴うパフォーマンスを行うことで、あたかも定理が証明できたかのように見せかける様子を皮肉たっぷりに描写しています。

彼はこう述べています（引用箇所の翻訳を意訳）：

「三目並べの盤を描きなさい…そこにマルやバツを書き込んではいけません…代わりに、曲線矢印を使いましょう…この盤の上で、複雑なパターンを描くように手を振り回しなさい。マルをいくつか作りましょう、ただし升目の中ではなく、縦線と横線の両端に置くのです。面白い顔を作りなさい。これであなたは証明しました：
(a) 9項補題
(b) 16項補題
(c) 25項補題…」

この記述は、専門家でない者から見れば神秘的あるいは恣意的に見えるかもしれない数学の図式証明の形式的な側面や、それに付随する独特の身振り（例えば、証明を説明する際に図式の上を手でなぞるなど）をユーモラスに表現したものです。また、同様の構造を持つより大規模な図式に関する補題（例えば、4行4列に関する16項補題など）の存在を示唆しているとも解釈できます。

参考文献

* Linderholm, Carl (1971). Mathematics Made Difficult. Wolfe. ISBN 0-7234-0415-1

9項補題は、より複雑なホモロジー代数の構造や定理を理解し証明するための基礎となる、重要な道具立ての一つです。

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