可換図式

可換図式（commutative diagram）

数学、特に圏論の分野で用いられる可換図式は、対象を点（頂点）とし、対象間の射を矢印（辺）で結んだ視覚的な表現手法です。この図式が「可換である」とは、図式内に存在する、同じ始点と終点を持つ任意の向き付きの道の合成結果が常に一致するという特別な性質を満たすことを指します。この性質が、代数学における方程式が特定の数学的関係を示すのと同様に、圏論的な構造や写像間の等式関係を表現するために不可欠となります。

図式が可換である場合、「図式は交換する」と表現されます。逆に、この条件を満たさない図式は、単に「図式」または「可換でない図式」と呼ばれ、可換図式とは区別されます。

具体的な例

可換図式の概念は、具体的な定理や構造を表現する際に役立ちます。例えば、群準同型定理の一つである第一同型定理は、可換図式によって簡潔に表現できます。この場合の可換性は、ある準同型写像 `f` が、全射 `π` と別の写像 `f̃` の合成 `f̃ ∘ π` に等しいという関係（`f = f̃ ∘ π`）を示します。

また、最も単純な例の一つとして、四つの対象A, B, C, Dとそれらを結ぶ四つの射f: A→B, g: A→C, h: B→D, k: C→Dからなる正方形の図式を考えます。この図式が可換であるとは、AからDへの二通りの経路（A→B→D と A→C→D）に対応する射の合成結果が等しいこと、すなわち `h ∘ f = k ∘ g` という等式が成り立つことを意味します。

図式に用いられる記号

可換図式を描く際には、射の性質を区別するために様々な種類の矢印が慣習的に使用されます。代表的なものとしては、

単射（injective morphism、埋め込みなど）を示す `↪`
全射（surjective morphism、上への写像など）を示す `↠`
* 同型射（isomorphism、逆射を持つ射）を示す `→̃`

などがあります。また、特定の条件が満たされる場合に射が存在することを主張する文脈では、破線の矢印 `⇢` が用いられることがあります。これらの記法は、数学の文献では説明なしに使われるほど一般的です。

可換性の証明

図式全体の可換性を証明するには、その図式を構成するすべての可能な「向き付きの道」の合成結果が、始点と終点が同じである限り一致することを示す必要があります。しかし、実際には、図式を構成するすべての最小単位の「部分多角図式」（例えば、三角形や四角形など）が可換であることを示せば、図式全体が可換であることが保証されます。

図式追跡（Diagram Chasing）

可換図式は、ホモロジー代数などの分野で行われる数学的証明手法である「図式追跡」の基盤となります。図式追跡による証明では、与えられた可換図式と、図式内の対象や射が持つ性質（例えば、対象がアーベル群であること、射が単射、全射、あるいは対象列が完全列であることなど）を組み合わせて、論理的な推論を順に進めていきます。図自体は、証明の過程で何を追いかけているのか、どのように論理が進むのかを視覚的に理解するための補助として非常に有効です。図式追跡を用いた有名な証明には、5項補題、スネーク補題、ジグザグ補題などがあります。

関手としての解釈

より抽象的な視点では、圏 `C` における可換図式は、ある添え字圏 `J` から `C` への関手として解釈することができます。この文脈では、図式そのものが一つの数学的な対象として扱われます。特に、可換図式は添え字圏として半順序圏を持つ関手と見なされることが多いです。半順序圏の対象は図式の頂点に対応し、半順序圏における射の存在は図式における向き付きの道の存在に対応します。可換性は、半順序圏の定義における射の一意性（二つの対象間に高々一つの射しか存在しない）に対応させることができます。

ただし、すべての図式が可換であるわけではありません。例えば、単一の対象に対する自己準同型射や、二つの対象間に複数の平行な射が存在する図式（イコライザの定義などで現れる自由箙など）は、必ずしも可換ではありません。また、対象や射の数が非常に多かったり無限だったりする複雑な図式は、実際に描くことが困難、あるいは不可能です。関手としての図式という概念は、物理的な描画の限界を超えて図式を扱うことを可能にします。

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