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A探索アルゴリズム:最適経路発見の効率的な手法



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探索アルゴリズムは、グラフ上でスタート地点からゴール地点までの最短経路を見つけるための、強力なグラフ探索アルゴリズムです。最良優先探索を拡張したアルゴリズムであり、各ノードへのコストとゴールまでの推定コストを組み合わせることで、効率的な探索を実現します。

Aアルゴリズムの概要



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アルゴリズムの中核は、ヒューリスティック関数と呼ばれる推定関数にあります。この関数は、任意のノードからゴールまでの距離を推定するもので、探索の効率性を大きく左右します。ヒューリスティック関数の設計は、対象となる問題に依存し、適切な関数の選択が重要となります。

例えば、2次元平面上の経路探索では、ユークリッド距離がヒューリスティック関数として利用できます。これは、直線距離が実際の経路距離の妥当な近似となるためです。しかし、より複雑な問題、例えば15パズルやSTRIPSプランニングなどでは、マンハッタン距離、パターンデータベース、FFヒューリスティック、Merge-and-Shrink、Landmark-Cutなど、より高度なヒューリスティック関数の設計が必要となります。

Aアルゴリズムは、ヒューリスティック関数が常に0を返す場合、ダイクストラ法と同等の動作となります。これは、ヒューリスティック関数が探索に全く寄与しないことを意味します。逆に、ヒューリスティック関数が常に正確なゴールまでの距離を返す場合(パーフェクト・ヒューリスティクス)、Aアルゴリズムは迷うことなく最短経路を効率的に発見します。

現実的な問題では、パーフェクト・ヒューリスティクスを得ることは困難です。そのため、実際には、正確性と計算コストのバランスを考慮したヒューリスティック関数を設計する必要があります。不正確なヒューリスティック関数を使用した場合、探索は非効率的になり、最悪の場合、解を発見できない可能性があります。しかし、Aアルゴリズムは完全性を備えているため、いずれは解を発見します。

Aアルゴリズムの歴史



Aアルゴリズムは、1968年にPeter E. Hart、Nils J. Nilsson、Bertram Raphaelの3人によって発表されました。その名前の由来は、論文中で許容的なアルゴリズムの集合をAと表し、その中で評価回数が最適なものをAと表記したことにあります。

Aアルゴリズムの考え方



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アルゴリズムでは、スタートノードからあるノードnを経由してゴールノードに到達する経路のコストをf(n)とします。これは、スタートノードからノードnまでのコストg(n)と、ノードnからゴールノードまでのコストh(n)の和で表されます。しかし、これらの値を事前に知ることは不可能です。

そこで、A
アルゴリズムでは、これらの値を推定値g(n)とh(n)で置き換えます。g(n)は探索過程で更新され、h(n)はヒューリスティック関数によって与えられます。このf(n) = g(n) + h(n)を評価することで、探索を進めます。

Aアルゴリズムの流れ



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アルゴリズムは、以下の手順で実装されます。

1. スタートノードを作成し、OPENリスト(探索対象のノード)とCLOSEリスト(既に探索済みのノード)を用意します。
2. スタートノードをOPENリストに追加します。
3. OPENリストが空であれば探索は失敗です。
4. OPENリストの中でf(n)が最小のノードnを選択します。
5. nがゴールノードであれば探索終了です。
6. nをCLOSEリストに移し、nに隣接するノードmに対して、f'(m)を計算します。
7. mの状態に応じて、OPENリストまたはCLOSEリストへの追加、更新を行います。
8. 3以降を繰り返します。

OPENリストとCLOSEリストの実装には、効率的なデータ構造の選択が重要です。通常は優先度付きキューが用いられますが、問題によっては、ハッシュテーブルなどを組み合わせることで、より効率的な実装が可能です。

Aアルゴリズムの性質



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アルゴリズムの性質は、ヒューリスティック関数h(n)の性質に大きく依存します。h(n)が常に真のゴール距離h(n)以下である場合(許容的)、Aアルゴリズムは最適解を保証します。また、h(n)が無矛盾である場合も、最適解が保証されます。無矛盾なヒューリスティック関数は常に許容的です。さらに、支配関係にあるヒューリスティック関数を使用することで、探索効率の向上が期待できます。

部分問題への分割



複雑な問題を部分問題に分割して解くことで、効率が向上する場合があります。この場合、AND/OR木またはAND/ORグラフを用いた探索が必要となります。AOアルゴリズムやA0アルゴリズムは、それぞれ閉路のないAND/ORグラフ、閉路のあるAND/ORグラフに対するAアルゴリズムの拡張です。

まとめ



A*探索アルゴリズムは、ヒューリスティック関数を用いた効率的なグラフ探索アルゴリズムです。様々な問題に適用可能であり、適切なヒューリスティック関数の設計がその効率に大きく影響します。部分問題への分割なども考慮することで、より複雑な問題にも対応できるようになります。

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