Circumgon

circumgon（円外接多角形状図形）

初等幾何学において、circumgon（サーカムゴン、円外接多角形状図形）とは、ある特定の円に「外接する」と見なせる幾何学的な図形です。その定義は独特で、ある一つの円の中心を共通の頂点とし、それぞれの対辺がその円の接線上に位置する複数の三角形を考えたとき、これらの三角形の境界部分（辺）のうち、互いに重なり合わない部分すべてを合わせた図形として定義されます。場合によっては、辺の一部または全体が円弧となる極限的な形状もこの定義に含まれます。

これらの三角形が占める領域全体を合わせたものが、circumgon領域（circumgonal region; 円外接多角形状領域）と呼ばれます。

circumgonが「外接」する基準となるこの円は、その図形にとっての内接円（incircle）にあたります。その円の中心は内心（incenter）、半径は内半径（inradius）と呼ばれます。

例

circumgonの概念は、様々な図形を包含します。例えば、任意の三角形は、その内接円に対してcircumgonalです。同様に、任意の正方形はもちろん、より一般的な任意の正多角形や円外接多角形もcircumgonの特別な場合と言えます。

しかし、すべての多角形がcircumgonになるわけではありません。例えば、正方形以外の長方形はcircumgonではありません。また、circumgonは必ずしも凸な図形である必要はありません。例えば、円の中心でのみ互いに接する三つの「楔（くさび）形」を合わせたような非凸な図形もcircumgonとなり得ます。

性質

circumgonは、その形状に関わらず、面積や重心に関して共通の興味深い性質を持ちます。これらの性質が、初等幾何学における研究対象としての意義を与えています。

最も基本的な性質の一つは、circumgon領域の面積に関するものです。circumgon領域の面積 `A` は、その図形の周長（外周にある辺の長さの総計）`P` と内半径 `r` を用いて、次の単純な公式で表されます。

$$A = \frac{1}{2} \cdot P \cdot r$$

この公式は、一般的な多角形における面積公式 `A = (1/2) 周長 内半径`（内接円を持つ多角形の場合）を拡張したものと見なせます。

もう一つの重要な性質は、重心の位置関係です。circumgon領域全体の重心（面積重心 `G_A`）と、図形の周上にある点全体の重心（境界重心 `G_B`）について、内心を基準とした位置ベクトルを考えると、次の関係が成り立ちます。

$$G_B = \frac{3}{2} G_A$$

このベクトル関係式が示すように、内心、面積重心 `G_A`、そして境界重心 `G_B` の三点は、常に一直線上に位置します。

起源

circumgonの概念およびその語法を初めて導入し、これらの図形の性質を詳細に調べたのは、数学者のApostolとMnatsakanianであり、彼らの2004年の研究成果によって世に知られることとなりました。

これらの共通の性質を持つことから、circumgonは初等幾何学において興味深い研究対象となっています。

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