内接円

内接円（ないせつえん）

幾何学において、多角形の内接円（ないせつえん、英: incircle）とは、その図形の内部にあり、かつ全ての辺にぴったりと接する性質を持つ円のことを指します。この特別な円の中心は、内心（ないしん、英: incenter）と呼ばれています。

存在と特徴

全ての種類の多角形に内接円が存在するわけではありません。しかし、全ての三角形には必ず内接円が存在します。また、全ての正多角形にも内接円が存在します。内接円が存在する多角形の場合、その内接円は、多角形の内部に完全に収まることが可能な円の中で、最も広い面積を持つ円となります。

個別の多角形における内接円

三角形の内接円

任意の三角形には、必ず内接円が存在します。三角形の内心は、その三つの角の二等分線がちょうど一点で交わる場所に位置します。

三角形には内接円の他に、傍接円（ぼうせつえん）と呼ばれる円も存在します。傍接円は、三角形の一辺に接し、残りの二辺の延長線にも接するという性質を持ちます。一つの三角形に対して、これらの傍接円は3つ存在します。内接円が三角形の内部で全ての辺に接するのに対し、傍接円は外部にあり、辺やその延長線に接する点で異なります。

四角形の内接円

四角形に内接円が存在するためには、満たすべき特定の条件があります。それは、以下の二つの条件が同時に成り立つことです。

1. 四角形の全ての内角が180度以下であること。
2. 対辺の長さの和が等しいこと。例えば、四角形ABCDの場合、辺ABの長さと辺CDの長さの合計が、辺BCの長さと辺DAの長さの合計と等しい必要があります。

この条件を満たす四角形の典型的な例としては、凧形（たこがた）や菱形（ひしがた）などが挙げられます。

四角形の内接円に関する興味深い性質として、内心と、その四角形の二本の対角線それぞれの中点（中央の点）は、必ず同じ一つの直線上に並ぶというニュートンの定理が知られています。

また、内接円と、その多角形の全ての頂点を通る円である外接円（がいせつえん）の両方を持つことができる四角形は、特に双心四角形（そうしんしかっけい）と呼ばれます。

一般の多角形の内接円

内接円が存在する一般の多角形において、その内接円の半径は、多角形の面積と周長（全ての辺の長さの合計）を用いることで、以下の簡単な式で求めることができます。

半径 = 2 × 多角形の面積 ÷ 多角形の周長

この式は、多角形を内心を中心とし、各辺を底辺、内接円の半径を高さとする複数の三角形に分割して考えることで導き出されます。

関連する概念

外接円（がいせつえん）: 多角形の全ての頂点を通る円。
三角形の中心: 三角形の内心、外心、重心、垂心など、特定の幾何学的性質を持つ点。
パッキング問題（充填問題）: 限られた空間に図形を効率的に詰め込む問題。円の充填問題などが内接円の概念と関連する場合があります。

関連情報源

（学術的な詳細や図解については、幾何学に関する専門的なウェブサイトなどを参照することができます。例として、MathWorldやPlanetMathなどのサイトで'Incircle'や'Incenter'といったキーワードで検索すると、より詳しい情報が得られます。）

内接円や内心に関する定義、定理、性質などを解説した専門資料を参照できます。

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