D-加群

D-加群 (D-module) について

数学におけるD-加群とは、微分作用素の環 \(D\) 上の加群のことです。これは、線形偏微分方程式の理論へのアプローチとして、特に重要な役割を果たします。1970年頃から、佐藤幹夫氏の代数解析におけるアイデアが集約され、佐藤・ベルンシュタイン多項式に関する研究へと発展しました。

D-加群論の発展

初期の主要な成果として、柏原正樹氏による柏原の構成定理や柏原の指数定理が挙げられます。D-加群論では、層の理論から派生した手法や、代数幾何学におけるアレクサンドル・グロタンディーク氏の研究に触発されたテクニックが用いられています。このアプローチは、微分作用素を研究する上で、従来の函数解析的なテクニックとは異なる視点を提供します。

最も顕著な成果は、極大過剰決定系（ホロノミック系）に対して得られており、特性多様体という概念が定義されています。特性多様体は余接バンドルの包合的部分集合であり、その中でも特に重要な例が、最小次元の余接バンドルのラグラジアン部分多様体です。これらのテクニックは、グロタンディーク学派のゾグマン・メブク氏によって発展され、彼は全ての次元におけるリーマン・ヒルベルト対応の導来圏の一般的なバージョンを確立しました。

ワイル代数上の加群

代数的D-加群の最初の例として、標数0の体 \(K\) 上のワイル代数 \(A_n(K)\) 上の加群があります。ワイル代数は、変数 \(x_1, ..., x_n, \partial_1, ..., \partial_n\) からなる代数であり、これらの変数は互いに可換です。ただし、交換子

\[[\partial_i, x_i] = \partial_i x_i - x_i \partial_i = 1\]

が成立します。この関係式から、任意の多項式 \(f(x_1, ..., x_n)\) に対して、

\[[\partial_i, f] = \frac{\partial f}{\partial x_i}\]

が導かれ、ワイル代数と微分方程式との関連性が示されます。

代数的D-加群は、環 \(A_n(K)\) 上の左加群として定義されます。例としては、ワイル代数自身（左からの乗算による作用）や、可換な多項式環 \(K[x_1, ..., x_n]\) が挙げられます。後者では、\(x_i\) は乗算として作用し、\(\partial_j\) は \(x_j\) に関する偏微分として作用します。同様に、\(\mathbf{C}^n\) 上の正則函数の環 \(\mathcal{O}(\mathbf{C}^n)\) もD-加群の例となります。

微分方程式との関係

\(x\) を複素変数、\(a_i(x)\) を多項式としたとき、微分作用素

\[P = a_n(x) \partial^n + ... + a_1(x) \partial^1 + a_0(x)\]

が与えられると、商加群 \(M = A_1(\mathbf{C})/A_1(\mathbf{C})P\) は、微分方程式

\[P f = 0\]

の解空間と密接に関連します。ここで、\(f\) は \(\mathbf{C}\) の正則函数とみなされます。この方程式の解からなるベクトル空間は、D-加群の準同型空間

\[\mathrm{Hom}(M, \mathcal{O}(\mathbf{C}))\]

によって与えられます。

代数多様体上のD-加群

D-加群の一般論は、複素多様体（係数体 \(K = \mathbf{C}\)）または、\(K = \mathbf{C}\) のような標数0の代数的閉体 \(K\) 上に定義された滑らかな代数多様体 \(X\) 上で展開されます。微分作用素 \(D_X\) の層は、\(X\) 上のベクトル場によって生成された \(\mathcal{O}_X\)-代数として定義され、微分と解釈されます。（左）\(D_X\)-加群 \(M\) は \(\mathcal{O}_X\)-加群であり、\(D_X\) の左作用を持ちます。この作用は、\(K\)-線型写像

\[
abla : D_X \rightarrow \mathrm{End}_K(M), v \mapsto
abla_v\]

を与えることと同値であり、この写像は以下の条件を満たします。

\[
abla_{fv}(m) = f
abla_v(m)\]

\[
abla_v(fm) = v(f)m + f
abla_v(m)\]

(ライプニッツ則)

\[
abla_{[v,w]}(m) = [
abla_v,
abla_w](m)\]

ここで、\(f\) は \(X\) 上の正則函数、\(v\) と \(w\) はベクトル場、\(m\) は \(M\) の局所切断、\[-, -]\] は交換子を表します。したがって、\(M\) が局所自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群であれば、\(M\) が与えられたとき、D-加群構造は平坦または可積分な接続を持つ \(M\) に付随するベクトルバンドルを持ちます。

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