Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach

H. J. キースラーによる『Elementary Calculus: An Infinitesimal approach』は、大学で数学を学び始める学生のために書かれた、微積分学の入門教科書です。本書の最大の特徴は、アブラハム・ロビンソンの創始した超実数理論に基づいた「無限小」の概念を積極的に採用している点にあります。副題が示す通り、無限小を用いた新しい手法で解析学の基礎を解説することを試みています。

この教科書では、解析学の根幹をなす連続性、微分、積分といった基本的な概念が、無限小の視点から定義され、展開されます。これは、現代の数学教育で広く用いられているε–δ（イプシロン-デルタ）論法とは異なるアプローチです。しかし、従来のε–δ論法による定義も第5章の終わりに示されており、読者が両手法を結びつけて理解できるよう配慮されています。

教育的な工夫も凝らされています。無限に小さな超実数を区別するために「無限に拡大できる顕微鏡」を、無限に大きな超実数を表すために「無限に解像度のある望遠鏡」という比喩的な概念を導入しています。特に、微分係数の説明においては、関数のグラフの無限に小さい部分を顕微鏡で拡大すると直線に見えるというイメージを用いることで、直感的な理解を助けています。微分の概念は、このようにして得られた直線の傾きの「標準部分」として定義されます。

また、キースラーは本書の傍用図書として、より理論的な側面を深掘りした指導者向けのモノグラフ『Foundations of Infinitesimal Calculus』も執筆しています。

本書は刊行当初から様々な評価を受けました。構成的数学の提唱者であるエレット・ビショップは、超準解析そのものへの批判も含め、本書に対して非常に厳しいレビューを公表しました。これに対し、マーチン・デイヴィスやハウスナー、アンドレアス・ブラス、キース・ストロイヤンらは詳細かつ好意的な書評を寄せています。キースラーの指導学生であったキャスリーン・サリバンは、実際の教育現場での比較実験を通して、標準的な教授法と比較した際の本書の優位性を示唆する研究結果を発表しました。しかし、こうした肯定的な評価や利点にもかかわらず、無限小に基づく手法を大学の微積分教育に採用する数学者は、依然として少数派にとどまっています。近年では、Katz & Katz (2010) が本書に基づいた教程を肯定的に評価し、再び注目が集まる兆候も見られます。一方、無限小を用いた教育経験について記述したオドンヴァンは、当初は肯定的であったものの、後に教育実践上の難しさを感じたと述べています。G. R. ブラックリーは、本書について「政治的な問題が生じる可能性が高い。これは革命的であり、革命は確立された党には歓迎されないが、革命家はしばしば歓迎される」と評し、その革新性とそれに伴う学界の反応を予見しました。

超準解析の理論的な側面についても議論がなされました。クシシュトフ・フルバチェックは、連続性や微分の定義において、超準的な要素を含めるように拡張するためには、ロビンソンの理論枠組みにおいても暗黙的にε–δ論法に依拠せざるを得ず、ε–δ論法なしに超準的微積分を展開するという本書の目論見は完全に実現できないと主張しました。しかし、イヴォ・ブラシュチクらは、一様連続性の定義におけるマイクロコンティニュイティ（無限小近傍での連続性）の有効性を詳細に論じ、フルバチェックの主張を「疑わしい嘆き」と位置づけて反論しています。

本書は版を重ねています。特に、初版と第二版の間で、超準解析の理論的基礎に関する記述の大部分が、第一章から巻末の最終章へと配置変更されました。第二版では、超実数の性質を実数から引き継ぐ重要な原理である延長原理や移行原理が導入され、その適用例として、実数に関する基本的な主張（例えば、加法の交換法則、零除算の除外、代数的な恒等式、三角恒等式など）が示されています。

現在、本書の第二版（修正オンライン版）は、著者のウェブサイトでCC BY-NC-SAライセンスのもと、無償でPDF形式で公開されています。これは、絶版となった旧版の著作権が著者に戻されたことによるものです。第三版の書籍版もドーヴァー出版から刊行されていますが、オンライン版の公開は継続されています。傍用モノグラフのオンライン版も同様に公開されています。日本語訳は傍用モノグラフ『無限小解析の基礎––微積分の新手法』が東京図書から出版されています。

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