F代数

F-代数の概要

F-代数は、圏論において特に重要な概念であり、自己関手 F に基づいて定義される数学的な構造です。この構造は、プログラミングにおけるリストや木構造のようなデータ構造を表現するために広く使用されています。F-代数は、数学的帰納法の原理を反映したものであり、その持つ特性は数理論理や計算機科学の重要な問題に深く関わっています。文脈によっては、関手 F を示す接頭辞「F-」を省略して単に「代数」と称することもあります。また、F-代数は F-余代数との双対関係にある点も重要です。

厳密な定義

数学的に、配列 C という圏と、その上での自己関手 F: C→C を考えます。この場合、F-代数は対象 A と射 α: F(A)→A を組み合わせたもので、記述は (A, α) という形になります。この定義より、F-代数は F-余代数と対になっています。

F-代数間の準同型は、別の F-代数 (B, β) への射 f: A→B の間で次の条件を満たすものと定義されます。

$$ f ext{∘} α = β ext{∘} F(f) $$

これは、図式を可換にすることを意味します。このようにして、F-代数の全体は準同型を射として持つ圏を形成します。

具体例

例えば、集合の圏 Set を考えます。ここで、1 を Set における終対象、すなわち任意の一元集合とし、+ は Set における直和を示します。このとき、自己函手 F: X→1 + X を考慮に入れると、(N, [0, succ]) という F-代数が得られます。この例では、N は自然数全体の集合を表し、[0, succ] は二つの写像を示します。

• - $$ 0: 1→N; * ext{↦} 0 $$
• - $$ ext{succ}: N→N; n ext{↦} n + 1 $$

このような写像によって、リストや木構造といったデータ構造が意味を持つことがわかります。

F-始代数

与えられた自己函手 F に基づく F-代数の圏が始対象を持つ場合、その対象は F-始代数と呼ばれます。上述の例で挙げた (N, [0, succ]) はまさにこれに該当します。このような始代数は、プログラミングにおけるリストや木構造といったさまざまな有限データ構造を生成する基盤の役割を果たします。また、自己関手に対する最小不動点によって構成された型も F-始代数と見なすことができ、これによってパラメトリシティを維持することが可能です。

F-終余代数

双対的な観点から、F-終余代数は最大不動点との関係を持ち、無限個のオブジェクトを強正規化性を保持しながら取り扱うことができます。この概念は、強正規化を伴うプログラミング言語である Charity において特に重要であり、余帰納的データ型を用いることで驚くべき結果をもたらします。たとえば、アッカーマン関数のような「強い」関数を実装するために、参照の構成要素を定義することが可能です。

参考文献

• - Pierce, Benjamin C. 『F-Algebras』. Basic Category Theory for Computer Scientists. ISBN 0262660717

関連項目

• - 代数的データ型
• - Catamorphism

また、以下の外部リンクも参照してください。

• - Categorical programming with inductive and coinductive types
• - Philip Wadler: Recursive types for free! University of Glasgow, July 1998. Draft
• - Algebra and coalgebra from CLiki

このように、F-代数は圏論における重要な基盤を提供し、プログラミングの多くの領域で利用される基本的な構造です。

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