Iのi乗

虚数単位 i の i 乗 (iⁱ) について

数学において、虚数単位 i の i 乗、すなわち iⁱ は、一見すると奇妙な表現ですが、実は正の実数値をとる興味深い数です。その値は、ネイピア数 e と円周率 π を用いて以下のように表すことができます。

`i<sup>i</sup> = e<sup>-(4n+1)π/2</sup>`

ここで、n は任意の整数を表します。この式から分かるように、iⁱ は無数の値を取り得ます。

主値

n = 0 とした場合、iⁱ は主値と呼ばれ、以下の値を取ります。

`i<sup>i</sup> = e<sup>-π/2</sup> ≈ 0.20787957...`

この値はオンライン[[整数列大辞典]]の数列 A049006 にも記載されています。

計算方法

iⁱ を計算するには、まず複素数の指数関数と対数関数の性質を利用します。複素数の指数関数は以下の式で定義されます。

`z<sup>w</sup> = e<sup>w log z</sup>`

ここで、log は複素対数関数です。i の複素対数は以下のようになります。

`log i = i(π/2 + 2nπ)`

したがって、iⁱ は次のように計算できます。

`i<sup>i</sup> = e<sup>i log i</sup> = e<sup>i * i(π/2 + 2nπ)</sup> = e<sup>-(π/2 + 2nπ)</sup> = e<sup>-(4n+1)π/2</sup>`

この式から、n の値を変えることで、異なる iⁱ の値を得ることができます。

数学的性質

iⁱ の値はすべて正の実数です。しかし、n の値によって、その値は限りなく大きく、あるいは限りなく小さくなります。つまり、iⁱ は最大値も最小値も持ちません。

iⁱ の主値 e^-π/2 は、ゲルフォント＝シュナイダーの定理により超越数であることが証明されています。したがって、無理数でもあります。同様に、他の iⁱ の値もすべて超越数です。

興味深いことに、(-i)^-i も iⁱ と等しくなります。これは以下の計算から明らかです。

`(-i)<sup>-i</sup> = e<sup>-i log(-i)</sup> = e<sup>-(π/2 - 2nπ)</sup> = e<sup>(4n-1)π/2</sup>`

n を -n と置換すれば、e^-(4n+1)π/2 と同じになります。

テトレーション

i^ii... のような無限のテトレーションを考えると、その値は実数ではなく、複素数に収束することが分かっています。この極限値は、ランベルトの W 関数を用いて表すことができます。

`lim<sub>n→∞</sub> i↑↑n ≈ 0.438283 + 0.3605924i`

この結果は、iⁱ の興味深い性質の一端を示しています。

まとめ

虚数単位 i の i 乗 (iⁱ) は、一見複雑に見えるにもかかわらず、正の実数値をとる無限個の数値を表す数式で定義される興味深い数学的概念です。その主値は e^-π/2 という、ネイピア数と円周率を含む簡潔な形で表すことができ、超越数であることが証明されています。さらに、無限のテトレーションにまで拡張すると複素数の極限値に収束するなど、奥深い数学的性質を持つことが分かっています。

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