Kan拡張
圏論において、カン拡張（カンかくちょう、Kan extension）は、関手を特定の仕方で拡張する普遍的な手法として知られています。
この概念は、もともとある部分集合上で定義された関数を全体の集合に拡張する操作の、圏論的な一般化と見なすことができます。非常に抽象的な考え方ですが、例えば半順序集合といった具体的な文脈では、「制約付き最適化」（constrained optimization）の問題として捉えることも可能です。
カン拡張は、随伴関手、圏における極限や余極限、そしてエンドや余エンドといった、圏論の中核をなす概念と密接に関連しています。実際に、これらの概念の多くはカン拡張の特別な場合として記述できるほど、カン拡張は基礎的な位置を占めています。
著名な圏論学者であるソーンダース・マックレーンは、著書『圏論の基礎』の中で「すべての概念はカン拡張である」と述べ、カン拡張が圏論における基本的な概念を網羅している、という趣旨の言葉を残しています。
この構成に名を冠するのは、1960年に極限を用いる方法でこの拡張を定式化した数学者ダニエル・カンです。黎明期の圏論においては、ホモロジー代数における導来関手を定義する際に、カン拡張が重要な役割を果たしました。
3つの圏 $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ と、二つの関手 $X\colon \mathbf{A} \to \mathbf{C}$, $F\colon \mathbf{A} \to \mathbf{B}$ が与えられたとき、$X$ の $F$ に沿ったカン拡張には「左」カン拡張と「右」カン拡張の二種類が存在します。
これらは共に、以下の図式における破線の関手と2-セルを見つける問題として捉えることができます。
mermaid
flowchart LR
A X > C
A F > B
B R .-> C
RF --> X
（上記は右カン拡張のイメージ図。左カン拡張では自然変換の向きが逆になります。）
より厳密には、右カン拡張（$\operatorname{Ran}_F X$）は余普遍性によって、左カン拡張（$\operatorname{Lan}_F X$）は普遍性によって特徴づけられます。
$X$ の $F$ に沿った右カン拡張とは、関手 $R\colon \mathbf{B} \to \mathbf{C}$ と自然変換 $\eta\colon RF \to X$ の組 $(R, \eta)$ であって、任意の関手 $M\colon \mathbf{B} \to \mathbf{C}$ と自然変換 $\mu\colon MF \to X$ に対して、自然変換 $\delta\colon M \to R$ が一意的に存在し、$X$ への自然変換 $\mu$ が $\eta$ と $\delta_F$ の合成 $\eta \circ \delta_F$ に一致する（図式が可換になる）ものを指します。ここで $\delta_F$ は、$\mathbf{A}$ の各対象 $a$ に対し、コンポーネント $\delta(Fa)\colon MF(a) \to RF(a)$ を持つ自然変換です。
双対的に、$X$ の $F$ に沿った左カン拡張とは、関手 $L\colon \mathbf{B} \to \mathbf{C}$ と自然変換 $\epsilon\colon X \to LF$ の組 $(L, \epsilon)$ であって、任意の関手 $M\colon \mathbf{B} \to \mathbf{C}$ と自然変換 $\alpha\colon X \to MF$ に対して、自然変換 $\sigma\colon L \to M$ が一意的に存在し、$X$ からの自然変換 $\alpha$ が $\sigma_F$ と $\epsilon$ の合成 $\sigma_F \circ \epsilon$ に一致する（図式が可換になる）ものを指します。ここで $\sigma_F$ は、$\mathbf{A}$ の各対象 $a$ に対し、コンポーネント $\sigma(Fa)\colon LF(a) \to MF(a)$ を持つ自然変換です。
普遍性によって定義される他の概念と同様、カン拡張は同型を除いて一意に定まります。
カン拡張は様々な圏論的構成と関連付けられます。
関手 $X\colon \mathbf{A} \to \mathbf{C}$ と $F\colon \mathbf{A} \to \mathbf{B}$ について、もし $\mathbf{A}$ が小さい圏で $\mathbf{C}$ が余完備（すべての小さい図式の余極限が存在する）であるならば、$X$ の $F$ に沿った左カン拡張 $\operatorname{Lan}_F X$ が存在し、その各対象 $b \in \mathbf{B}$ における値は、コンマ圏 $(F \downarrow b)$ 上の余極限として与えられます。
$$ (\operatorname{Lan}_F X)(b) = \varinjlim_{f: Fa \to b} X(a) $$
双対的に、もし $\mathbf{A}$ が小さい圏で $\mathbf{C}$ が完備（すべての小さい図式の極限が存在する）であるならば、$X$ の $F$ に沿った右カン拡張 $\operatorname{Ran}_F X$ が存在し、極限として計算されます。
適切な条件下では、カン拡張を（余）エンドを用いて計算することも可能です。例えば、関手 $K\colon \mathbf{M} \to \mathbf{C}$ と $T\colon \mathbf{M} \to \mathbf{A}$ について、もし特定の余エンドが存在するならば、$T$ の $K$ に沿った左カン拡張は余エンドとして次のように与えられます。
$$ (\operatorname{Lan}_K T)c = \int^{m} \mathbf{C}(Km, c) \cdot Tm $$
双対的に、右カン拡張はエンドとして次のように計算されます。
$$ (\operatorname{Ran}_K T)c = \int_{m} Tm^{\mathbf{C}(c, Km)} $$
逆に、極限や余極限もカン拡張の特別な場合と見なせます。関手 $F\colon \mathbf{C} \to \mathbf{D}$ の極限は、$\mathbf{C}$ から一点からなる圏（圏論における終対象）への一意的な関手 $E$ を用いて、右カン拡張として表現できます。
$$ \operatorname{lim} F = \operatorname{Ran}_{E} F $$
同様に、$F$ の余極限も左カン拡張として表現されます。
$$ \operatorname{colim} F = \operatorname{Lan}_{E} F $$
これらの関係性から、カン拡張が圏論における様々な普遍的構成を統一的に理解するための強力な枠組みを提供していることがわかります。
参考文献：
Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel. Homological algebra. Princeton University Press, 1956.
Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician. 2nd ed. Springer-Verlag, 1998.
この概念は、もともとある部分集合上で定義された関数を全体の集合に拡張する操作の、圏論的な一般化と見なすことができます。非常に抽象的な考え方ですが、例えば半順序集合といった具体的な文脈では、「制約付き最適化」（constrained optimization）の問題として捉えることも可能です。
カン拡張は、随伴関手、圏における極限や余極限、そしてエンドや余エンドといった、圏論の中核をなす概念と密接に関連しています。実際に、これらの概念の多くはカン拡張の特別な場合として記述できるほど、カン拡張は基礎的な位置を占めています。
著名な圏論学者であるソーンダース・マックレーンは、著書『圏論の基礎』の中で「すべての概念はカン拡張である」と述べ、カン拡張が圏論における基本的な概念を網羅している、という趣旨の言葉を残しています。
この構成に名を冠するのは、1960年に極限を用いる方法でこの拡張を定式化した数学者ダニエル・カンです。黎明期の圏論においては、ホモロジー代数における導来関手を定義する際に、カン拡張が重要な役割を果たしました。
定義
3つの圏 $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ と、二つの関手 $X\colon \mathbf{A} \to \mathbf{C}$, $F\colon \mathbf{A} \to \mathbf{B}$ が与えられたとき、$X$ の $F$ に沿ったカン拡張には「左」カン拡張と「右」カン拡張の二種類が存在します。
これらは共に、以下の図式における破線の関手と2-セルを見つける問題として捉えることができます。
mermaid
flowchart LR
A X > C
A F > B
B R .-> C
RF --> X
（上記は右カン拡張のイメージ図。左カン拡張では自然変換の向きが逆になります。）
より厳密には、右カン拡張（$\operatorname{Ran}_F X$）は余普遍性によって、左カン拡張（$\operatorname{Lan}_F X$）は普遍性によって特徴づけられます。
$X$ の $F$ に沿った右カン拡張とは、関手 $R\colon \mathbf{B} \to \mathbf{C}$ と自然変換 $\eta\colon RF \to X$ の組 $(R, \eta)$ であって、任意の関手 $M\colon \mathbf{B} \to \mathbf{C}$ と自然変換 $\mu\colon MF \to X$ に対して、自然変換 $\delta\colon M \to R$ が一意的に存在し、$X$ への自然変換 $\mu$ が $\eta$ と $\delta_F$ の合成 $\eta \circ \delta_F$ に一致する（図式が可換になる）ものを指します。ここで $\delta_F$ は、$\mathbf{A}$ の各対象 $a$ に対し、コンポーネント $\delta(Fa)\colon MF(a) \to RF(a)$ を持つ自然変換です。
双対的に、$X$ の $F$ に沿った左カン拡張とは、関手 $L\colon \mathbf{B} \to \mathbf{C}$ と自然変換 $\epsilon\colon X \to LF$ の組 $(L, \epsilon)$ であって、任意の関手 $M\colon \mathbf{B} \to \mathbf{C}$ と自然変換 $\alpha\colon X \to MF$ に対して、自然変換 $\sigma\colon L \to M$ が一意的に存在し、$X$ からの自然変換 $\alpha$ が $\sigma_F$ と $\epsilon$ の合成 $\sigma_F \circ \epsilon$ に一致する（図式が可換になる）ものを指します。ここで $\sigma_F$ は、$\mathbf{A}$ の各対象 $a$ に対し、コンポーネント $\sigma(Fa)\colon LF(a) \to MF(a)$ を持つ自然変換です。
普遍性によって定義される他の概念と同様、カン拡張は同型を除いて一意に定まります。
性質
カン拡張は様々な圏論的構成と関連付けられます。
（余）極限としてのカン拡張
関手 $X\colon \mathbf{A} \to \mathbf{C}$ と $F\colon \mathbf{A} \to \mathbf{B}$ について、もし $\mathbf{A}$ が小さい圏で $\mathbf{C}$ が余完備（すべての小さい図式の余極限が存在する）であるならば、$X$ の $F$ に沿った左カン拡張 $\operatorname{Lan}_F X$ が存在し、その各対象 $b \in \mathbf{B}$ における値は、コンマ圏 $(F \downarrow b)$ 上の余極限として与えられます。
$$ (\operatorname{Lan}_F X)(b) = \varinjlim_{f: Fa \to b} X(a) $$
双対的に、もし $\mathbf{A}$ が小さい圏で $\mathbf{C}$ が完備（すべての小さい図式の極限が存在する）であるならば、$X$ の $F$ に沿った右カン拡張 $\operatorname{Ran}_F X$ が存在し、極限として計算されます。
（余）エンドとしてのカン拡張
適切な条件下では、カン拡張を（余）エンドを用いて計算することも可能です。例えば、関手 $K\colon \mathbf{M} \to \mathbf{C}$ と $T\colon \mathbf{M} \to \mathbf{A}$ について、もし特定の余エンドが存在するならば、$T$ の $K$ に沿った左カン拡張は余エンドとして次のように与えられます。
$$ (\operatorname{Lan}_K T)c = \int^{m} \mathbf{C}(Km, c) \cdot Tm $$
双対的に、右カン拡張はエンドとして次のように計算されます。
$$ (\operatorname{Ran}_K T)c = \int_{m} Tm^{\mathbf{C}(c, Km)} $$
カン拡張としての（余）極限
逆に、極限や余極限もカン拡張の特別な場合と見なせます。関手 $F\colon \mathbf{C} \to \mathbf{D}$ の極限は、$\mathbf{C}$ から一点からなる圏（圏論における終対象）への一意的な関手 $E$ を用いて、右カン拡張として表現できます。
$$ \operatorname{lim} F = \operatorname{Ran}_{E} F $$
同様に、$F$ の余極限も左カン拡張として表現されます。
$$ \operatorname{colim} F = \operatorname{Lan}_{E} F $$
これらの関係性から、カン拡張が圏論における様々な普遍的構成を統一的に理解するための強力な枠組みを提供していることがわかります。
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参考文献：
Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel. Homological algebra. Princeton University Press, 1956.
Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician. 2nd ed. Springer-Verlag, 1998.
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