Kynea数

Kynea数についての詳細

Kynea数は、特定の数式を用いて定義された自然数で、次のように表します。

$$Kynea(n) = 4^n + 2^{n+1} - 1$$
または
$$Kynea(n) = (2^n + 1)^2 - 2$$

この数は、4のn乗とn+1番目のメルセンヌ数の和として理解できます。Kynea数という名称は、Cletus Emmanuelによって研究され、彼の娘の名前にちなんで名付けられました。小さい順に並べると、Kynea数は次のようになります：

$7, 23, 79, 287, 1087, 4223, 16639, 66047, 263167, 1050623, 4198399, 16785407, ...$

Kynea数の性質

n番目のKynea数を二進数で表すと、最初に1が来てその後にn-1個の0が続き、さらにn+1個の1が続く形になります。つまり、次の表現も可能です：

$$Kynea(n) = 4^n + igg( extstyleigoplus_{i=0}^{n} 2^iigg)$$

例えば、23は二進数で表すと10111で、79は1001111になります。また、n番目のKynea数とn番目のキャロル数は、2n + 1の符号が異なるため、その差は常に2n + 2になります。

Kynea素数

Kynea数の中には、特定の規則に従う数が存在します。特に、7から3つおきに位置するKynea数は7の倍数になり、このためにそれらの数は素数であることができません。Kynea素数は次のように並んでいます：

$7, 23, 79, 1087, 66047, 263167, 16785407, ...$

2018年2月の時点で知られている最大のKynea素数は、n = 661478の位置にあるKynea数であり、その桁数は398250桁です。この素数はMark Rodenkirchによって、2016年6月にCKSieveプログラムとPrimeFormGWを用いて発見されました。

Kynea数の一般化

b進Kynea数は、一般的に次の式で定義できます：

$$(b^n + 1)^2 - 2 ext{ (n ≥ 1)}$$

bが奇数の場合、b進Kynea数は必ず偶数になります。このことから、bが偶数の場合にのみKynea素数が存在します。最小のb進Kynea数で素数を出すものは、次のような数列で現れます：

`1, 1, 1, 1, 22, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 24, ...`

2018年2月時点で、b進Kynea数の中で最大の素数は、$$(30157950 + 1)^2 - 2$$であることが知られています。

関連項目

• - キャロル数

参考文献・外部リンク

• - Weisstein, Eric W. "Near-Square Prime". mathworld.wolfram.com
• - Prime Database entry for Kynea(661478)
• - Carol and Kynea Primes
• - Carol and Kynea Prime Search

Kynea数は、数学の興味深い対象であり、その性質を知ることでさらに深い理解を得ることができます。

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