Prime k-tuple

Prime k-tupleとは

Prime k-tupleとは、n番目の素数をpnとした場合に、pn+k−1 - pnが最も小さくなるk個の素数の組み合わせを指します。この特性を持つ素数の組は、さまざまな数学的現象や理論に関連しているため、特に興味深いです。

名前付きパターン

いくつかの最短のk-tupleは独自の一般名を持っており、特に数論におけるこれらのパターンは、数の調和や配置を考える上で重要です。このようなパターンには、双子素数や三つ子素数が含まれます。

許容性

Prime k-tupleが無限に存在するためには、そのすべての要素が素数であることが必要です。しかし、任意の素数pに対して、そのpを法とするすべての異なる値が含まれるk-tupleを構成してはなりません。もしそのようなpが存在すれば、nのいずれかの選択によって得られる数のいずれかがpで割り切れてしまい、素数の配置が限られることになってしまいます。たとえば、k=2の場合、(n, n + 1)の形であれば、1つの数が必ず偶数になり、許容可能なPrime 2-tupleとしては(p, p + 2)の形の双子素数が存在します。この条件を満たすk-tupleを「許容可能」とは呼びます。

例えば、(n, n + 2, n + 4)の場合も同様で、1つの数が3の倍数であれば、許容可能なPrime 3-tupleは(p, p + 2, p + 6)や(p, p + 4, p + 6)です。このような許容可能なPrime k-tupleは無限に存在すると考えられていますが、Prime 1-tupleを除いてはその証明は未だなされていません。

最小のPrime k-tuple

最初に見つかったPrime k-tupleのいくつかは、次のものです。dはpnをn番目の素数とした場合、d = pn+k−1 - pnであり、これは許容可能である必要があります。特に、kの関数としてのdは、オンライン整数列大辞典の数列A008407に掲載されています。

等差数列の素数

Prime k-tupleの一形態として、等差数列の形式である(0, n, 2n, 3n, …, (k − 1)n)が存在します。このようなPrime k-tupleが許容可能であるためには、nはkの素数階乗の倍数でなければなりません。

Prime k-tupleの例

以下に、いくつかのPrime k-tupleの例を示します。nを0以上の整数として考えます。

• - 双子2-tuple'>[素数]は、([3]], 5)を除けば、その形は(6n + 5, 6n + 7)です。さらに、(3, 5)および(5, 7)以外では(30n + 11, 30n + 13), (30n + 17, 30n + 19), (30n + 29, 30n + 31)の形となります。
• - 四つ子素数]の場合、([5, 7, 11, 13)を除いたものは(30n + 11, 30n + 13, 30n + 17, 30n + 19)の形を持ちます。さらに別の形として(210n + 11, 210n + 13, 210n + 17, 210n + 19)も存在します。
• - 六つ子素数]の例としては、(7, [[11, 13, 17, 19, 23)以外では(210n + 97, 210n + 101, 210n + 103, 210n + 107, 210n + 109, 210n + 113)が代表的です。この他にも様々な形の参考例が存在し、それぞれに興味深い性質があります。

関連項目

Prime k-tupleは数学の多くの研究に関連し、特に双子素数や三つ子素数、四つ子素数、いとこ素数、セクシー素数などの概念と密接に結びついています。

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