WKB近似

WKB近似：量子力学の半古典的アプローチ

WKB近似、またはWKB法は、量子力学、特にシュレディンガー方程式の解を求めるための強力な近似手法です。この方法は、プランク定数h（または換算プランク定数ħ=h/2π）を摂動パラメーターとして扱い、量子現象を古典力学の枠組みからアプローチすることを目指します。 プランク定数が0に近づく極限では、量子力学は古典力学に帰着すると考えられており、WKB近似はまさにこの極限を巧みに利用した手法と言えるでしょう。

WKBという名称は、この方法の開発に貢献した3人の物理学者、グレゴール・ウェンツェル (Wentzel)、ハンス・クラマース (Kramers)、レオン・ブリルアン (Brillouin) の頭文字から取られています。さらに、ハロルド・ジェフリーズ (Jeffreys) も独立に同様の手法を開発したため、WKBJ近似と呼ばれることもあります。

WKB近似は、最高階の微分項に小さなパラメーター（この場合はプランク定数）が掛かった特異摂動問題を扱う手法の一種です。シュレディンガー方程式に限らず、より一般的な線形微分方程式の特異摂動問題にも適用可能です。

近似手法の基礎

WKB近似では、シュレディンガー方程式の解を以下の指数関数形式で仮定します。

ψ(x) = exp(iS(x)/ħ)

ここで、S(x)は位相を表す関数です。このS(x)をプランク定数ħに関する摂動級数として展開し、ħの1次項までを考慮することで近似解を求めます。このため、WKB近似は半古典近似、あるいは準古典近似とも呼ばれます。

ħ→0 の極限では、S(x)は古典力学における作用積分と一致することが示されます。この作用積分は、粒子のエネルギーとポテンシャルエネルギーの関係を反映した重要な物理量です。

古典的に到達可能な領域と到達不可能な領域

WKB近似を用いると、古典力学的に粒子が到達可能な領域（E > V(x)、Eは粒子のエネルギー、V(x)はポテンシャル）と、到達不可能な領域（E < V(x)）の両方で波動関数の近似解を得ることができます。

到達可能な領域では、波動関数は振動的な性質を示し、到達不可能な領域では指数関数的に減衰する性質を示します。後者は量子力学特有のトンネル効果を反映しています。

転回点と接続問題

古典的に到達可能な領域と到達不可能な領域の境界となる点を転回点と呼びます。転回点では、p(x) = √{2m(E - V(x))} = 0 となり、WKB近似は破綻します。ここでp(x)は古典的な局所運動量です。この問題を解決するために、転回点近傍での解をエアリー関数などを用いて記述し、到達可能領域と到達不可能領域の解を繋ぎ合わせる必要があります。この繋ぎ合わせの問題は、WKB近似における重要な課題の一つです。

エアリー関数と転回点近傍の解

転回点近傍では、ポテンシャルを線形近似することで、シュレディンガー方程式はエアリー方程式に帰着します。エアリー方程式の解であるエアリー関数は、転回点近傍での波動関数の振る舞いを正確に記述します。そして、エアリー関数の漸近展開を用いることで、転回点の両側でのWKB近似解の接続公式を導き出すことができます。

歴史

WKB法は、量子力学が確立される以前から、天体力学や流体力学といった様々な分野で活用されてきました。19世紀初頭には、フランチェスコ・カルリーニが天体力学の問題にこの方法を適用したことが知られています。その後、ジョゼフ・リウヴィルやジョージ・グリーンなども、それぞれ異なる物理問題にWKB近似を応用しました。これらの先駆的な研究は、後に量子力学におけるWKB法の発展に大きな影響を与えました。

参考文献

いくつか参考となる書籍を挙げます。（具体的な書籍名は省略）

関連項目

量子力学、半古典論、摂動論

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