XORゲート

XORゲート（排他的論理和ゲート）とは

XORゲート（エックスオアゲート）は、排他的論理和を実現する論理ゲートです。EORゲート、ExORゲートとも呼ばれます。

真理値表

2入力のXORゲートの真理値表は以下の通りです。



入力の片方がHigh（1）で、もう片方がLow（0）のときのみHighを出力し、入力が両方High（1）または両方Low（0）のときはLowを出力します。

出力がXORの反転となるものをXNORゲートと呼びます。

排他的論理和と加算

排他的論理和は、2を法とする加算（繰り上がりを無視した加算）と同じです。半加算器は、加算結果とキャリーの2つの出力を持ちますが、加算結果はXORと同じです。

XORゲートの積和標準形は次の通りです。

math
A\cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B

制御NOT（CN）

XORゲートの出力に加えて、入力のどちらか一方をそのまま（または反転）出力する2入力2出力の演算は、制御NOT（CN）と呼ばれる可逆計算になります。

XORゲートの記号

XORゲートの記号は、ANSI（MIL論理記号）、IEC、DINなど、規格によって異なります。一般的な記号は、以下の通りです。

ANSI (MIL): ⊕
IEC: =1
* DIN: ⊻

ハードウェアでの解説とピン配置

XORゲートは、単純なゲートの組み合わせで実装することが可能です。しかし、NANDゲートやNORゲートのように、少数のトランジスタで直接実装することは難しいです。

汎用ロジックICには、XORゲートがラインナップされています。例えば、74シリーズでは7486、4000シリーズでは4070（4030の代替）が代表的です。これらのICには、2入力XORゲートが4個含まれています。

ピン配置は、DIPパッケージ品やフラットパッケージ品で共通です。

実装

XORゲートの実装には、様々な方法があります。ここでは、CMOSロジックでの実装例を紹介します。

CMOSによる実装

CMOSロジックの基本的な方式では、2つの入力AとBの反転に4個、XORゲート自体に8個の計12個のトランジスタが必要です。

より少ないトランジスタ数で実装する方法として、NORゲートとAND-OR-Invert複合ゲートを用いる10トランジスタ実装があります。

また、パス・トランジスタ・ロジックを用いると、6個のトランジスタで実装することも可能です。

積和標準形の実装

XORの積和標準形をANDゲート、ORゲート、NOTゲートで構成すると、計5個のゲートが必要になります。

NANDゲートのみでは4個、NORゲートのみでは5個でXORゲートを構成できます。

その他の実装

電灯のオンオフを2ヶ所から切り替えるための3路スイッチの配線も、一種のXORの実装とみなすことができます。

多入力への拡張

2入力のXORゲートを拡張し、多入力のXORゲートを構成することが可能です。

math
XOR(A, B, C) = (A \oplus B) \oplus C = A \oplus (B \oplus C)


上記の様に、2入力XORゲートをカスケード接続することで、多入力XORゲートを構成できます。この場合、入力のうち、Highとなっているものが奇数個のときにHighを出力し、偶数個のときにはLowを出力します。

このような回路は、パリティ生成器や2を法とする加算器として利用できます。

多入力XORゲートを実装したICとして、74LVC1G386があります。

パリティ生成器

多入力XORゲートは、パリティビットを生成する際に利用されます。パリティビットは、データの誤りを検出するために用いられるビットです。

加算器としての利用

XORゲートは、1ビット加算器として機能します。2つのビットを加算した結果の1ビット目がXORゲートの出力となります。

キャリー（桁上がり）は、ANDゲートによって得られます。したがって、XORゲートとANDゲートを組み合わせることで、半加算器を構成できます。

まとめ

XORゲートは、排他的論理和を実現するための重要な論理ゲートです。様々な回路で使用されており、特に加算器の基礎となる要素として重要です。

その実装方法や多入力への拡張についても理解することで、より高度な回路設計が可能になります。

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