Z-行列

Z行列：非対角成分が負の行列とその周辺

数学において、Z行列とは、非対角成分がすべて0以下の行列を指します。言い換えれば、行列の対角成分以外の要素がすべて負の数か0であるような行列です。この定義は、行列の各要素の大小関係に注目した分類の一種であり、線形代数や数値解析において重要な役割を果たします。

Z行列の定義を数式で表すと以下のようになります。行列Zを、要素がzᵢⱼであるとすると、i≠jのとき、zᵢⱼ ≤ 0となります。つまり、対角成分以外のすべての要素が0以下であるということです。

Z行列の例

例えば、以下の行列はZ行列です。


[-1 0 -2]
[ 0 -3 -1]
[-4 -2 0]


全ての非対角成分が0以下であることを確認できます。

Z行列と力学系

Z行列は、力学系の解析において重要な意味を持ちます。競争的な力学系では、そのヤコビ行列がZ行列となります。一方、協力的な力学系では、ヤコビ行列に-1を掛けたものがZ行列となります。ヤコビ行列とは、ある点における力学系の挙動を局所的に線形近似した行列であり、その特性を知る上で非常に重要です。

Z行列に関連する他の行列

Z行列と密接に関連する行列として、いくつかの種類があります。

L行列: すべての対角成分が正で、非対角成分がすべて0以下の行列です。Z行列の特殊なケースと言えます。
M行列: 正則であり、その逆行列の全ての成分が非負であるようなZ行列です。様々な同値な定義が存在しますが、これはそのうちの一つです。
P行列: すべての主小行列式が正である行列です。
フルビッツ行列: 固有値の実部がすべて負である行列です。安定性の解析に用いられます。
メッツラー行列: 非対角成分がすべて非負である行列です。

これらの行列の定義や性質は互いに関連しており、数学的にも応用的にも重要な概念です。例えば、Z行列でありかつP行列でもある行列は、正則なM行列となります。これらの関係性は、数値解析におけるアルゴリズムの収束性などを議論する上で重要となります。

Z行列の応用

Z行列は、数値解析、特に線形方程式系の反復解法において重要な役割を果たします。SOR法などの反復解法の収束性を解析する際に、係数行列がZ行列であるかどうかが重要な判断材料となります。さらに、経済学や生態学などのモデルにおいても、Z行列は現れ、系の安定性や挙動を解析するために利用されます。

参考文献

Huan T.; Cheng G., Cheng X. (2006). “Modified SOR-type iterative method for Z-matrices”. Applied Mathematics and Computation 175 (1): 258–268. doi:10.1016/j.amc.2005.07.050.

Saad, Y.. Iterative methods for sparse linear systems (2nd ed.). Philadelphia, PA.: Society for Industrial and Applied Mathematics. p. 28. ISBN 053494776X. http://www-users.cs.umn.edu/~saad/books.html

関連項目

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