ウェーブレット

ウェーブレットとは

ウェーブレット（wavelet）とは、数学において、局所的な波、すなわち、有限の長さを持つ波、または急速に減衰する波のことです。これは、波（wave）と小さい（let）という言葉を組み合わせた造語です。ウェーブレット解析では、これらの波を基本要素として、信号やデータを解析します。

多重解像度解析で使用されるファーザーウェーブレットは、マザーウェーブレットと共に使われるスケーリング関数です。

ウェーブレット変換の歴史

ウェーブレットの概念は、20世紀初頭の数学者ハール・アルフレッドの断片的な考察に端を発します。その後、ガーボル・デーネシュの研究によって、ウェーブレットと類似したガボールアトムが生まれました。ウェーブレット理論への大きな貢献としては、1975年のジョージ・ツワイクによる連続ウェーブレット変換の発見があります。

さらに、1975年にフランスの地球[[物理学]]者ジャン・モーレーが石油探査中にこの概念を発見しました。1981年には、アレックス・グロスマンとの共同研究で連続ウェーブレット変換の定式化に成功しました。彼らは「小さい波」を意味するondeletteという言葉を使っていましたが、後に英語に翻訳される際にwaveletという言葉が用いられるようになりました。

その後、離散ウェーブレット変換やコンパクト台を持つ直交ウェーブレット、多重解像度解析など、多くの重要な理論が提唱され、現在に至っています。

主な貢献者と年表

1909年：ハール・アルフレッドによるハールウェーブレットの発表
1950年代以降：ジャン・モーレー、アレックス・グロスマン
1980年代以降：イヴ・メイヤー、ステファヌ・マラ、イングリッド・ドブシー、ロナルド・コイフマン、ビクター・ウィッカーハウザーなど

ウェーブレット理論の概要

ウェーブレット理論は、様々な目的で使用されますが、時間周波数表現の一種と捉えることができます。調和解析とも関連が深く、信号を異なる周波数成分に分解することで、詳細な分析を可能にします。

[ウェーブレット変換]]は、大きく分けて連続[[ウェーブレット変換]と離散[ウェーブレット変換]の2種類があります。

連続ウェーブレット変換 (CWT): あらゆるスケールとシフトを考慮して変換を行います。
離散ウェーブレット変換 (DWT): 一部のスケールとシフトのみを用いて変換を行います。

また、ウェーブレット変換は、ハイゼンベルクの不確定性原理に支配されています。離散ウェーブレット変換は、有限インパルス応答(FIR)フィルタで構成されるフィルタバンクとして実装されることが多いです。

さらに、多重解像度解析(MRA)に基づく離散ウェーブレット変換も重要な分類です。

連続ウェーブレット変換 (CWT) の詳細

連続ウェーブレット変換では、有限エネルギーを持つ信号を、連続的な周波数帯域の集まりとして投影します。この周波数成分は、積分によって元の信号を再構成できます。これらの周波数帯域は、マザーウェーブレットと呼ばれる基本関数を拡大縮小（スケーリング）と平行移動（シフト）させることで生成されます。

一般的なマザーウェーブレットの例として、以下のような関数があります。


`ψ(t)`

スケール`a`の部分空間は、以下の式で表されます。

`ψa,b(t) = (1/√a) ψ((t-b)/a)`

ここで、`a`はスケールを、`b`はシフトを決定します。これらのパラメータは、半平面上で定義されます。

信号`x`をスケール`a`の部分空間へ投影する際には、以下の式を用います。

`xa(t) = ∫ WT{x}(a,b) ψa,b(t) db`

ここで、`WT`はウェーブレット係数であり、以下のように計算されます。

`WT{x}(a,b) = = ∫ x(t) ψa,b(t) dt`

信号を解析する際には、ウェーブレット係数をスケーログラムとして可視化します。

離散ウェーブレット変換 (DWT) の詳細

実用上、全てのウェーブレット係数を使って信号を解析することは非効率的です。そこで、離散的な係数のみを用いるのが離散ウェーブレット変換です。

実数パラメータ`a > 1`と`b > 0`を用いて、アフィン系と呼ばれる離散部分集合を用います。この部分集合は、以下の点を含みます。

`(am, namb) (m, n ∈ Z)`

対応するベビーウェーブレットは、以下のように表されます。

`ψm,n(t) = a-m/2 ψ(a-mt - nb)`

任意の有限エネルギーを持つ信号xを再構成するための条件は、関数群`{ψm,n : m,n ∈ Z}`がL2(R)のタイトフレームを形成することです。

多重解像度解析 (MRA) による離散ウェーブレット変換

多重解像度解析では、スケーリング関数（ファーザーウェーブレット）`φ`と、マザーウェーブレット`ψ`を組み合わせて利用します。通常、`a=2`、`b=1`のような整数係数が用いられます。これにより、様々なスケールでの信号の分解を効率的に行えます。

代表的な組み合わせとしては、ドブシーの4タップウェーブレットが挙げられます。

これらの関数から、部分空間`Vm`と`Wm`が定義されます。これらにより、多重解像度解析を構成します。

この解析では、低周波成分と高周波成分が交互に分解され、信号の詳細な構造を捉えることができます。

マザーウェーブレットの詳細

実応用では、マザーウェーブレットはコンパクトサポートを持つ連続微分可能な関数であることが望ましいです。理論的には、L1(R) ∩ L2(R)の部分空間から選ばれます。この関数空間では、ゼロ平均と二乗ノルムの条件が定義できます。

ゼロ平均条件: ∫ ψ(t) dt = 0
二乗ノルム正規化条件: ∫ |ψ(t)|2 dt = 1

連続ウェーブレット変換では、マザーウェーブレットは安定な逆変換を持つための許容性条件を満たす必要があります。離散ウェーブレット変換では、ウェーブレット系列がL2(R)空間の単位元である必要があります。多くの場合、vanishing momentsを表すMの値が大きい連続関数が用いられます。

マザーウェーブレットは、スケール`a`による拡大縮小と、シフト`b`による平行移動によって生成されます。

`ψa,b(t) = (1/√a) ψ((t-b)/a)`

連続ウェーブレット変換では、`(a,b)`のペアは半平面全体で変化しますが、離散ウェーブレット変換では離散部分集合で変化します。

フーリエ変換との比較

ウェーブレット変換は、フーリエ変換と比較されることがあります。主な違いは、ウェーブレット変換は時間と周波数の両方を局在化できるのに対し、フーリエ変換は周波数成分のみを局在化する点です。

短時間フーリエ変換も時間と周波数の両方を扱えますが、分解能に限界があります。ウェーブレット変換は、多重解像度解析によって、より柔軟な時間周波数分解が可能です。

計算量においても、離散ウェーブレット変換はO(N)であり、高速フーリエ変換のO(N log N)に比べて効率的です。

ウェーブレット関数の定義方法

ウェーブレットは、以下のいずれかの方法で定義できます。

スケーリングフィルタ: 長さ2Nの低域通過フィルタで定義します。
スケーリング関数: ファーザーウェーブレットとして定義します。
ウェーブレット関数: 時間領域の関数として定義します。

応用分野

離散ウェーブレット変換はデータ圧縮に、連続ウェーブレット変換は信号解析によく用いられます。具体的には、以下のような分野で応用されています。

物理学：分子動力学、宇宙物理学、量子力学など
画像処理：コンピュータビジョン、画像圧縮（JPEG 2000など）
医療分野：血圧、心電図などの解析
信号処理：音声認識、一般的な信号処理
その他：DNA解析、タンパク質解析、気候学、マルチフラクタル解析など

様々なウェーブレット変換

用途に応じて、様々なウェーブレット変換が存在します。

連続ウェーブレット変換 (CWT)
離散ウェーブレット変換 (DWT)
高速ウェーブレット変換 (FWT)
ウェーブレットパケット分解 (WPD)
定常ウェーブレット変換 (SWT)

代表的なウェーブレット

離散ウェーブレット

Beylkin
Coiflet
ドブシーウェーブレット
Cohen-Daubechies-Feauveauウェーブレット
ハールウェーブレット
Symletウェーブレット

連続ウェーブレット

Mexican hat wavelet
Hermitian wavelet
* Morlet wavelet

まとめ

ウェーブレット変換は、時間と周波数の両方を解析できる強力なツールであり、その応用分野は多岐にわたります。データ圧縮から科学研究まで、様々な分野でその有用性が認められています。この記事を通して、ウェーブレット変換の基本概念を理解し、今後の研究や開発に役立てていただければ幸いです。

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