トモグラフィー

トモグラフィー：断層映像化技術の深層

トモグラフィー（tomography）とは、対象物内部の物性分布を画像化する逆解析技術です。医療診断や物理探査など、幅広い分野で活用されています。日本語では「断層映像法」または「断層影像法」と呼ばれ、コンピュータを用いた画像処理技術であるコンピュータ断層撮影（CT）が広く知られています。

トモグラフィーの種類

対象物や利用する波の種類によって、様々なトモグラフィーが存在します。代表的な例として、X線CT、地震波トモグラフィー、海洋音響トモグラフィーなどが挙げられます。これらは、対象領域を取り囲むように配置された線源と検出器を用いて、内部の音速、比抵抗、密度などの物性情報を取得し、画像を再構成します。

他にも、中性子トモグラフィー、ミューオントモグラフィー、弾性波トモグラフィー、比抵抗トモグラフィー、音響トモグラフィー、光コヒーレンストモグラフィー、電磁誘導トモグラフィー、電気インピーダンストモグラフィー、電気容量トモグラフィー、磁気誘導トモグラフィー、熱音響トモグラフィー、テラヘルツ波トモグラフィー、量子トモグラフィー、電離層トモグラフィー、水蒸気トモグラフィーなど、多様な手法が存在します。それぞれの方法では、X線、中性子、音波、電磁波など、異なる物理現象を利用して内部構造を可視化します。

トモグラフ像の撮影と復元

トモグラフ像の撮影には、主に平行ビーム光学系、扇形ビーム光学系、円錐ビーム光学系の3つの方法があります。平行ビーム光学系は、平行な光線を対象物に照射し、透過光を検出器で計測する方法です。扇形ビーム光学系は、扇状のビームを対象物に照射する方法で、医療機器などに多く用いられます。円錐ビーム光学系は、円錐状のビームを二次元検出器で検出する方法です。

画像の再構成は、測定データから内部構造を復元する重要なステップです。主な再構成アルゴリズムには、解析的再構成法、代数的再構成法、統計的再構成法があり、それぞれ異なるアプローチで画像を生成します。従来主流だったフィルタ補正逆投影法（FBP法）に加え、近年では画像ノイズやアーチファクトの低減に優れた逐次近似画像再構成法（IR法）が注目を集めています。

数学的基礎：ラドン変換と逆変換

トモグラフィーの数学的基礎は、ラドン変換とその逆変換にあります。ラドン変換は、対象物の吸収係数の分布を、様々な角度からの投影データに変換する操作です。この投影データが、実際に測定されるデータに対応します。ラドン逆変換は、この投影データから元の吸収係数の分布を復元する操作です。

ラドン変換は、関数μ(x,y)（吸収係数の位置依存性）を、角度θと距離sの関数p(s,θ)に変換します。このp(s,θ)は、関数μ(x,y)の直線lθ,sに沿った線積分を表します。ラドン逆変換は、このp(s,θ)からμ(x,y)を復元するプロセスで、フーリエ変換を用いた2段階の手順で行われます。

具体的には、まずp(s,θ)をsについてフーリエ変換し、~p(r,θ)を求めます。次に、~p(r,θ)をrとθについて積分し、μ(x,y)を復元します。この過程では、2変数関数のフーリエ変換と逆変換の知識が必要となります。

平行ビーム光学系によるモデル化

平行ビーム光学系を用いたトモグラフィーでは、ランベルト・ベールの法則に基づいて、透過光の減衰から吸収係数を推定します。光線の入射強度I0と透過強度Iの関係は、I = I0 * exp(-∫μ(x,y)dl)で表されます。ここで、積分は光線経路に沿って行われます。光線経路を座標変換することで、ラドン変換が導出されます。

まとめ

トモグラフィーは、医療から地球科学まで、様々な分野で活用されている強力な画像化技術です。その原理を理解するには、ラドン変換、フーリエ変換、そして画像再構成アルゴリズムについての知識が不可欠です。本稿では、トモグラフィーの基本原理と、様々な光学系、再構成アルゴリズムを用いた画像化プロセスについて、数学的な基礎を含めて解説しました。

もう一度検索