プリューファー整域

プリューファー整域について

プリューファー整域（プリューファーせいいき、英: Prüfer domain）とは、数学の分野において、特に可換環論の一部として扱われる特殊な整域のことを指します。この整域は「半遺伝的」と呼ばれる性質を持ち、整域が遺伝的であることとデデキント整域であることが同時に成り立つことを示しています。プリューファー整域は、ネーター性を前提としないデデキント整域の拡張として理解されることが多く、半遺伝的な構造が以下のように示されます。

プリューファー整域の特徴

プリューファー整域 R に関しては、以下の性質がすべて同値となります。ただし、ここでの「不ねじれ」と「ねじれなし」という用語は異なる意味を持つことに注意が必要です。

1. R はプリューファー整域である（すなわち半遺伝的である）。
2. すべての不ねじれ（左または右）R-加群が平坦である。
3. すべてのねじれのない（左または右）R-加群が平坦である。
4. すべての有限生成のねじれのない R-加群は射影的である。
5. 平坦加群の部分加群も平坦である。
6. 有限生成イデアルが全て可逆である。
7. すべてのイデアルが平坦である。

このように、プリューファー整域はその特有の性質によって他の整域とは一線を画す存在となっています。

性質と関連性

整域 R がプリューファー整域であるならば、R 上のすべての n 次全行列環もまた半遺伝的であるという特性があります。また、プリューファー整域上の加群において、平坦であることとねじれがないことが同じ意味を持つという特徴もあります。

可換環 R と R-加群 M の関係についても興味深い性質があります。具体的には、もし
\( ext{Tor}_1^R(A,C) \) が C に関する函手としてゼロである場合、A はねじれがないとされますが、A がプリューファー整域であればその逆も成り立ちます。

さらに、プリューファー整域 R 上の加群 M がねじれがない場合、対応する M のテンソル積が C に関して完全であることが確認できます。また、R がプリューファー整域で、A および C がともにねじれがない R-加群であるなら、A と C のテンソル積もまたねじれがないことが保証されます。

また、R をプリューファー整域、A を R-加群とした場合、R-加群 C に対する
\( ext{Ext}_R^1(A,C) \) が移入的であれば、A はやはりねじれがないという性質も存在します。

このように、プリューファー整域は数学の中でも重要な役割を果たしており、特に加群や環の構造を理解する上で非常に有用な概念です。

参考文献

• - Lam, Tsit-Yuen (1999). Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics No. 189. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98428-5.
• - 中山, 正; 服部, 昭 (2010). 復刊 ホモロジー代数学. 東京: 共立出版株式会社. ISBN 978-4-320-01946-1.

関連項目

• - 遺伝環
• - デデキント整域

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