七角形

七角形

七角形は、7つの頂点と7つの辺を持つ多角形です。単純な七角形の内角の和は900度です。凸七角形には14本の対角線があります。

正七角形

正七角形は、すべての辺の長さが等しく、すべての内角の大きさが等しい七角形です。一つの内角は128と4/7度、一つの外角と中心角はどちらも51と3/7度です。

一辺の長さをaとすると、正七角形の面積Aは以下の式で表されます。これらの式は、三角関数や幾何学的な関係を用いて導き出されます。

A ≈ 3.63391a²
A = (7/4)a²cot(π/7)
A = (7/4)a²tan(5π/14)
A = (7/12)a²(√7 + 4cos(arctan(3√3)/3))
A = (a²/4)√((7/3)(35 + 2∛(14²(13 + 3√(-3))) + 2∛(14²(13 - 3√(-3)))))

ここで、arctan関数の値域は(-π/2, π/2)です。

外接円の半径Rと内接円の半径rはそれぞれ以下のようになります。

R = (1/2)a(1/sin(π/7))
r = (1/2)acot(π/7)

正七角形には14本の対角線があり、その長さは2種類しかありません。2つ隣の頂点を結ぶ短い対角線bと、3つ隣の頂点を結ぶ長い対角線cです。これらの対角線からなる図形は七芒星と呼ばれ、日本では短い対角線からなる図形を茅の輪と呼ぶこともあります。

これらの辺a, 短い対角線b, 長い対角線cの長さは、外接円の半径Rを用いて以下のように表せます。

a = 2Rsin(π/7)
b = 2Rsin(2π/7)
c = 2Rsin(3π/7)

これらには次の関係式が成り立ちます。

* 1/a = 1/b + 1/c

正七角形に関する多くの量は、計算が複雑です。例えば、正七角形の作図に重要なcos(2π/7)は約0.62349であり、これは8x³ + 4x² - 4x - 1 = 0という三次方程式の解の一つです。正七角形に関連する角度の三角関数の値の多くは、その最小多項式が三次式や六次式になります。

正七角形の作図

正七角形は、コンパスと定規のみでは作図不可能であることが証明されています。これは、cos(2π/7)の長さの線分を作図できないことに起因します。

しかし、印付き定規（長さの計測が可能な定規）や折り紙を用いることで作図が可能です。これは、7がピアポン素数であることと、折り紙が任意の三次方程式を解く能力を持つことに関連しています。

古代、アルキメデスは円錐曲線の交点を使って正七角形を作図していたと考えられていますが、その著作は現存していません。イスラムの数学者サービト・イブン・クッラなども正七角形を作図しています。

角の三等分器を用いれば、正七角形を作図できます。これは、cos(2π/7)をarctan(3√3)/3の三等分と関連付ける式によって示されます。

折り紙公理に基づいた折り紙でも正七角形を作図できます。折り紙は、作図済みの数を係数とする任意の三次方程式を解くことができます。そのため、8x³ + 4x² - 4x - 1 = 0の解も作図可能です。複素数の立方根を用いた表現も可能です。

印付き定規とコンパスを用いたネウシス作図でも正七角形を作図できます。ヒッピアスの円積曲線や角の七等分器を用いる方法も理論上はあります。

近似的作図

正七角形に非常に近い七角形を作図する近似的な方法がいくつか存在します。

その他

イギリスでは、正七角形に近い50ペンスと20ペンス硬貨が流通しています（厳密にはルーローの七角形）。ユーロ貨幣の20セント硬貨は、正七角形の頂点に当たる部分に7つの溝があります。2011年にはタイで、国王ラーマ9世の誕生日を祝う七角形の切手が発行されました。

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