三次方程式

三次方程式：解法、性質、歴史、そして幾何学

三次方程式は、数学において重要な役割を果たす次数3の代数方程式です。本稿では、実数を係数とする一変数三次方程式に焦点を当て、その解法、解の性質、歴史、そして幾何学的解法について詳細に解説します。

三次方程式の定義と一般形

一般的に、一変数三次方程式は以下のように表現されます。


a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀ = 0 (a₃ ≠ 0)


ここで、a₃, a₂, a₁, a₀ は実数の係数、x は変数です。a₃が0でないことが、三次方程式であるための条件です。現代数学では、三次方程式の解法といえば、主に代数的な解法を指します。

三次方程式の解の性質

代数学の基本定理より、三次方程式は高々3つの複素数解を持ちます。実数を係数とする三次方程式の場合、中間値の定理から少なくとも1つの実数解が存在することが保証されています。

解が重解を持つ場合、その重解は方程式の導関数の解でもあります。この性質を利用することで、方程式を比較的容易に解くことができます。虚数解を持つ場合は、その共役複素数も解となります。

判別式Dを用いると、解の種類を事前に知ることができます。

D > 0：3個の異なる実数解
D < 0：1個の実数解と1組の共役な虚数解
* D = 0：実数の重解を持つ

D = 0 の場合、さらに⊿₂を用いて三重解を持つ場合と、二重解と単解を持つ場合を区別できます。

三次方程式の代数的解法

カルダノの方法

三次方程式の代数的解法として最もよく知られているのが、カルダノの方法（カルダノの公式）です。この方法は、変数変換によって2次項を消去し、簡略化された三次方程式を解くことで元の三次方程式の解を求めます。この過程で、虚数が現れる場合があり、虚数に対する理解が深まるきっかけとなりました。カルダノの公式は複雑な式で表され、還元不能の場合（casus irreducibilis）と呼ばれる、3個の実数解を持つ場合に、虚数を経由して実数解を求める必要があります。

ビエトの解

ビエトは、三角関数の三倍角の公式を利用した解法を考案しました。この方法では、三角関数と逆三角関数の計算を用いるため、厳密な値を得るためには複雑な計算が必要となりますが、3個の実数解を持つ還元不能の場合でも、虚数を使わずに解を表すことができます。

ラグランジュの方法

ラグランジュは、三次方程式と四次方程式の代数的解法を分析し、「根の置換」という概念を導入しました。この研究は、後のガロア理論の発展に大きな影響を与えました。ラグランジュの方法は、根の対称式を用いて、三次方程式の解を求める方法です。

三次方程式の幾何学的解法

代数的解法とは別に、古代から幾何学的な作図による解法が研究されてきました。メナイクモスは、円錐曲線を用いて立方体倍積問題を解きました。ウマル・ハイヤームは、様々な形の三次方程式を、円錐曲線同士の交点として幾何学的に解く方法を体系化しました。

三次方程式の歴史

古代バビロニアでは、数表を用いて近似解を求めていた痕跡があります。古代ギリシャでは、立方体倍積問題などを通して三次方程式の研究が始まり、メナイクモスが円錐曲線を用いた幾何学的解法を発見しました。16世紀、シピオーネ・デル・フェッロが代数的解法を発見し、その後タルタリア、カルダノらによって解法が発展し、広く知られるようになりました。カルダノの『アルス・マグナ』は、三次方程式と四次方程式の解法をまとめた重要な著作であり、現代数学の始まりとされることもあります。

まとめ

三次方程式は、代数学、幾何学、そして数学史において重要な位置を占める方程式です。様々な解法が存在し、その解法の研究は、虚数や群論といった現代数学の重要な概念の発展に貢献しました。 本稿では三次方程式の解法を網羅的に記述しましたが、具体的な計算は複雑なため、必要に応じて専門書を参照することをお勧めします。

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