弓形

弓形（ゆみがた）とは

初等幾何学における弓形（ゆみがた、英: circular segment）とは、円板の一部を、円周上の二点を結ぶ線分である弦、またはその延長である割線によって切り取られた図形のことです。より正確には、円周上の二点を結ぶ弦と、その弦によって区切られた円弧で囲まれた二次元の領域を指します。記号としては ⌓ が用いられることがあります。特に、円の中心を通らない弦によって円板が大小二つの部分に分けられる際、通常は中心角が180度未満である劣弧（れつこ）側にできる小さい方の領域を弓形と呼ぶのが一般的です。

弓形の構成要素

弓形は、元の円の性質と、それを切り取る弦の位置によって特徴づけられます。その構成要素としては、元の円の半径R、弓形を作る円弧に対応する中心角θ（ラジアン）またはα（度数法）、弦の長さc、円弧の長さs、そして弦のちょうど中央から円弧までの最も高い部分の長さを矢（や）といい、その長さをhとします。また、円の中心から弦までの距離をdとすると、これは扇形から弓形を除いた三角形の高さに相当します。これらの要素の間には、幾何学的な関係を示す様々な公式が存在します。

各部に関わる公式

弓形の各部、例えば元の円の半径や弦、矢の長さなどを求めるための公式が知られています。特に、弦の長さcと矢の長さhが分かっている場合に、元の円の半径Rを計算する公式 R = (h/2) + (c² / 8h) はよく用いられます。この関係は、円における弦の性質に関する重要な定理である交弦定理（方冪の定理の特殊な場合）から導き出されます。他にも、弦長c、矢の長さh、弧長s、中心角θやαは、半径Rや他の既知の要素、さらには三角関数や逆三角関数を用いて計算することが可能です。例えば、弦長cは半径Rと中心角θを用いて `c = 2R sin(θ/2)` と表せますし、中心角θは Rとhを用いて `θ = 2 arccos(1 - h/R)` といった形式で求められます。

面積公式

弓形の面積を求める公式は、最も重要な公式の一つです。弓形の面積Aは、弓形を含む扇形の面積から、弦を底辺とする三角形（これは二等辺三角形になります）の面積を差し引くことで計算できます。円の半径をR、弓形に対応する中心角をθ（ラジアン）としたとき、面積Aは次の式で与えられます。
A = (R² / 2) (θ - sinθ)
もし中心角がα（度数法）で与えられている場合は、角度の単位を変換して次のように計算できます。
A = (R² / 2) (απ/180 - sinα)
これらの公式は、半径と中心角が分かれば弓形の面積を直接計算できるため、非常に有用です。また、半径Rと弦長cなどが分かっている場合にも、逆正弦関数などの逆三角関数を用いた別の形式の公式で面積を計算することも可能です。弓形の面積Aと元の円板全体の面積S=πR²との比率も、中心角を用いて `A/S = (θ - sinθ)/(2π)` または度数法で `A/S = α/360 - sinα/(2π)` と表すことができます。

応用例

弓形の概念やそれに関連する公式は、理論的な幾何学の探究だけでなく、私たちの身の回りや様々な工学分野で幅広く応用されています。主な応用例としては、以下のようなものが挙げられます。

貯蔵タンクの体積計算: 横置きされた円筒形の貯蔵タンクに部分的に液体が満たされている場合、その液体の体積を計算する際に、タンクの断面における液面の形状が弓形となることを利用します。
建築やデザイン: 窓やドアの上部をアーチ型にするデザインで、製図を行う際に特定の弦長cと矢の長さhを持つ弓形を描くために、元の円の半径Rを計算する際に弓形の公式が用いられます。
寸法の復元: 破損した円盤状の物の一部（弓形）しか残っていない場合でも、その弓形の弧長や弦長、矢の長さなどを測定することで、元の円全体の直径や半径、さらには中心の位置などを復元することが可能です。これは、考古学や工業的な場面で役立ちます。
機械部品の検査: 精密な円形パターンを持つ機械部品の品質管理において、穴の位置や形状の正確さをチェックするために弓形に関連する測定が利用されることがあります。

関連する概念

弓形に関連する幾何学的な概念としては、球を平面で切断した際にできる球面弓形（球面セグメント）や、放物線、楕円、双曲線といった円錐曲線の一部、そして一般的な断面などが挙げられます。

このように、弓形は初等幾何学における基本的な図形でありながら、その性質や公式は、工学、建築、デザイン、品質管理など、多岐にわたる実用的な分野で重要な役割を果たしています。その理解は、様々な問題解決や設計、解析に役立つ基盤となります。

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