拡大

数学における「拡大」とは、既存の数学的構造を、より大きな構造の中に部分構造として包含する操作や概念を指します。この操作は、群、加群、環、リー環、体といった様々な代数構造に対して定義され、それぞれの分野において重要な役割を果たします。

様々な拡大の概念

群の拡大：群Gを部分群として含むような、より大きな群を構成することを指します。例えば、群Hとその正規部分群Nが与えられたとき、群Gで、NがGの正規部分群であり、かつG/NがHと同型であるようなものが存在するとき、群Gを群Hによる群Nの拡大と呼びます。

加群の拡大：加群Mを部分加群として含むような、より大きな加群を構成することを指します。加群の拡大は、群の拡大と類似した構造を持ち、加群の構造を理解する上で重要な概念です。

環の拡大：環Rを部分環として含むような、より大きな環を構成することを指します。例えば、可換環RとそのイデアルIが与えられたとき、R/Iは環であり、RはR/Iの部分環と考えることができます。

リー環の拡大：リー環Lを部分リー環として含むような、より大きなリー環を構成することを指します。リー環の拡大は、リー群の理論において重要な役割を果たします。

体の拡大：体Kを部分体として含むような、より大きな体を構成することを指します。特に体の拡大は、代数学において中心的な役割を果たし、ガロア理論の基礎となります。

体の拡大の種類

体の拡大には、様々な種類があります。

有限拡大：体の拡大L/Kにおいて、LをK上のベクトル空間とみなしたときの次元が有限であるものを指します。この次元を拡大次数と呼びます。

巡回拡大：体の拡大L/Kにおいて、ガロア群Gal(L/K)が巡回群であるものを指します。

ガロワ拡大：体の拡大L/Kが、分離的かつ正規的であるものを指します。ガロア拡大は、ガロア理論における最も重要な概念の一つです。

アーベル拡大：体の拡大L/Kにおいて、ガロア群Gal(L/K)がアーベル群であるものを指します。

分離拡大：体の拡大L/Kにおいて、Lのすべての元がK上分離的であるものを指します。

正規拡大：体の拡大L/Kにおいて、K係数の多項式の根がすべてLに含まれているものを指します。

不分岐拡大：局所体や大域体といった体に対する拡大において、付値が分岐しないような拡大を指します。代数的整数論において重要な概念です。

その他の関連概念

エクステンション：英語では、「拡大」を意味するextensionが用いられます。数学の分野によっては、エクステンションという用語が使われることがあります。

縮小：拡大とは逆に、ある数学的構造を、その部分構造に制限する操作を指します。例えば、群の部分群への制限、環の部分環への制限などがあります。これは拡大の逆操作とも言えます。

まとめ

「拡大」は、数学において非常に重要な概念であり、様々な構造の理解を深める上で不可欠です。特に、体の拡大はガロア理論の基礎となる重要な概念であり、代数学における様々な現象の解明に貢献しています。また、様々な拡大の概念は互いに関連しあい、数学の深い構造を理解する上での鍵となります。

もう一度検索