体の拡大

体の拡大とは

抽象代数学、特に体論において、体の拡大は、ある体の構造や性質を深く理解するための重要な概念です。ここでは、特に断りがない限り、可換体のみを扱います。

定義

体 K と体 k の組が与えられたとき、K/k が体の拡大であるとは、k が K の部分集合であり、k の体構造が K の体構造の制限として得られる構造と一致することを指します。このとき、k を K の部分体、基礎体または下にある体と呼び、K を k の拡大体または上にある体と呼びます。また、体Kが体kを部分集合として含み、かつk-多元環の構造を持つとき、K/kを体の拡大と定義することもできます。

体の拡大 K/k において、K は k 上のベクトル空間と見なすことができます。このベクトル空間としての次元を拡大 K/k の次数といい、[K:k] で表します。特に、K が有限次元 k ベクトル空間であるとき、拡大 K/k は有限次拡大であるといい、そうでない場合は無限次元拡大と呼びます。

中間体

もし K, M, k が体であり、K/M と M/k が共に体の拡大である場合、K/M/k と書き、これを体の拡大の列と呼びます。このとき、M は拡大 K/k の中間体と呼ばれます。

もし M と N が共に K/k の中間体であるならば、それらの共通部分である M ∩ N もまた K/k の中間体となります。特に、K の部分集合 E と k に対して、E と k の両方を含む最小の体が存在し、これを k に E を添加した体と呼び、k(E) と表記します。部分体 M に対して M = k(E) となる場合、M は E によって k 上で生成された体であるといい、E を M の k 上の生成系と呼びます。中間体 M と N に対して、和集合 M ∪ N は必ずしも体とはなりませんが、M ∪ N を含む最小の体 MN := M(N) = N(M) を M と N の合成体と呼びます。

代数閉包の一意性から、体 k の拡大を考える際には、k の代数閉包 k を固定し、k の任意の拡大は k に含まれる中間体として議論することが一般的です。

k に有限集合 E = {a1, ..., an} を添加した体 k(E) は、k 上有限生成であると言われ、k(a1, ..., an) とも略記されます。特に生成系が一元集合 E = {α} であるとき、k(α) を k に α を添加して得られる単拡大または単純拡大と呼びます。一般の集合 E を添加する場合は、k(E) は E の有限部分集合 F 全体を動く場合の k(F) の帰納極限となります。

有限生成拡大体 k(a1, ..., an) は、k 上の n 個の不定元 x1, ..., xn に関する多項式を用いて表現できます。これは、k(a1, ..., an) が、多項式環 k[x1, ..., xn] の要素 f, g を用いて f(a1, ..., an) / g(a1, ..., an) の形で表されることを意味します。

代数拡大と超越拡大

体の拡大 K/k において、K の元 α が k 上代数的であるとは、k 係数の多項式 f(X) で、α が f(X) の根となるようなものが存在することを意味します。k 上代数的な K の元 α を根に持つ k 係数多項式で、モニックかつ次数が最小のものを α の k 上の最小多項式と呼び、Irr(α, k, X) のように記述します。拡大 K/k の全ての元が k 上代数的であるとき、拡大 K/k は代数的であるといい、K を k の代数拡大体と呼びます。

拡大 T/k が k 上代数的でない場合、拡大 T/k は超越的であるといい、T の元 t が k 上代数的でない場合は k 上の超越元と呼びます。t が k 上超越的であることと、k 上の多項式 f(X) が f(t) = 0 となるならば f = 0 であること、k に t を添加した体 k(t) が一変数代数関数体 k(X) と同型であることは同値です。拡大 T/k が超越的であることは、k 上超越的な T の元 t が少なくとも一つ存在することと同値です。

拡大 K/k が与えられたとき、K の元 α1, α2, ..., αn に対して、恒等的に 0 でない n 変数の k 係数多項式 F(X1, X2, ..., Xn) で、F(α1, α2, ..., αn) = 0 を満たすものが存在するとき、α1, α2, ..., αn は代数的従属であるといい、そうでないとき代数的独立であるといいます。

超越拡大 T/k に対して、T の k 上代数的独立な元からなる部分集合 B で、拡大 T/k(B) が代数的となる場合、B は T/k の、または T の k 上の超越基または超越基底と呼ばれます。ツォルンの補題により、超越基底は常に存在します。特に、超越拡大 T/k がその超越基底 B によって T = k(B) と表されるならば、その拡大は純超越的であるといいます。また、超越基底 B の濃度は、その取り方によらず一定であることが証明でき、これを T の k 上の超越次数または次元といい、degk T あるいは trans.degk T などと表します。

有限次拡大はすべて代数拡大ですが、その逆は成り立ちません。つまり、無限次元の代数拡大が存在します。

正規拡大、分離拡大、ガロア拡大

代数拡大 K/k が正規拡大であるとは、多項式環 k[X] において K に根を持つ全ての既約多項式が一次式の積に分解されることを指します。すべての代数拡大 K/k は、正規閉包 L を持ちます。ここで、L/K が正規となる最小の拡大体を正規閉包 L といいます。

代数拡大 K/k が分離拡大であるとは、体 K の全ての元の最小多項式が分離的であること、つまり k の代数的閉包において重根を持たないことを意味します。原始元定理から、すべての有限次分離拡大は単純拡大であることがわかります。

ガロア拡大とは、正規かつ分離的な拡大体のことを指します。体の拡大 K/k が与えられたとき、k の各元を固定する全ての体の準同型からなる自己同型群 Aut(K/k) を考えることができます。ガロア拡大において、この自己同型群は拡大のガロア群と呼ばれます。特に、ガロア群がアーベル群となるような拡大をアーベル拡大と呼びます。

ガロア拡大は、中間体とガロア群の部分群の間に全単射が存在するという重要な特徴を持っており、ガロア理論の基本定理によって記述されます。

拡大の準同型

体の準同型は、体を単位的環とみなしたときの単位的環の準同型であり、体の単純性から単射となります。拡大 K/k が与えられたとき、上の体 K に下の体 k が特別な構造として備わっていると考え、K の自己準同型の中で k に自明に作用するものが重要となります。k の元を動かさない K の自己同型は、K における k 上の同型、または k-同型と呼ばれます。K の k-同型全体を Aut(K/k) と書き、これを K の k-自己同型群と呼びます。拡大 N/k が正規ならば、k-自己同型群 Aut(N/k) を特に拡大 N/k のガロア群と呼び、Gal(N/k) や G(N/k) で表します。

二つの拡大 K/k と L/l があるとき、K から L への同型 f と k から l への同型 g が与えられ、f の k への制限が g と一致する場合、f を g の上にある K 上の同型、または拡大 K/k から L/l への準同型と呼びます。

もう一度検索