ひねり数

ひねり数（Writhe）

ひねり数は、位相幾何学の一分野である結び目理論において用いられる数学的な概念です。特に、方向付けられた結び目や絡み目を平面に投影した図である「射影図」に対して定義される数値として知られています。この数値は、ねじれ数、テイト数、または交点符号和と呼ばれることもあります。

定義

有向の結び目や絡み目の射影図には、多数の交点が現れます。これらの交点一つ一つに対して、ある規則に基づいてプラス（+1）またはマイナス（-1）の符号が割り当てられます。

具体的には、交差している二つの紐のうち、上側の紐が下側の紐をまたぐ向きによって符号が決まります。

上側の紐が、下側の紐の上を右から左（または左から右）へ通過し、あたかも「右ねじれ」の方向に見える交点には、+1 の符号を与えます。
逆に、上側の紐が、下側の紐の上を右から左（または左から右）へ通過し、あたかも「左ねじれ」の方向に見える交点には、-1 の符号を与えます。

このようにして、射影図に存在するすべての交点に対して符号を割り当て、それらの符号を全て合計した値が、その射影図の「ひねり数」として定義されます。

性質

ひねり数は、結び目や絡み目そのものの不変量（結び目の形が変わっても値が変わらない量）ではありません。結び目の射影図を連続的に変形する際に現れる基本的な操作に「ライデマイスター移動」というものがありますが、ひねり数はこの移動の種類によって変化します。

ライデマイスター移動のタイプII（二つの紐が交差せずに接触・分離する操作）やタイプIII（三つの紐が関わる操作）を射影図に施しても、ひねり数の値は変化しません。
しかし、ライデマイスター移動のタイプI（紐に小さなねじれを加える、あるいは取り除く操作）を行うと、ひねり数は元の値からプラス1またはマイナス1だけ変化します。

この性質から、ひねり数は結び目や絡み目そのものを区別するための完全な不変量とはなりませんが、タイプIの移動だけで値が制御された変化をすることから、他の結び目不変量を構築する上で重要な役割を果たします。特に、有名な多項式不変量であるジョーンズ多項式は、ひねり数とブラケット多項式を組み合わせることで定義されます。

また、特定の種類の結び目や絡み目に対しては、ひねり数が特別な性質を持つことがあります。

「交代絡み目」と呼ばれる種類の絡み目に対して、最も単純化された射影図（「既約交代射影図」といいます）を考えた場合、ひねり数の値はその絡み目固有の値となり、どのような既約交代射影図を選んでも同じ値になります。これは、結び目理論におけるテイト予想に関連する重要な結果です。
さらに、「両手型結び目」という特定の対称性を持つ交代結び目の既約交代射影図に限っては、ひねり数は常にゼロとなります。

ひねり数は、絡み数やライジング数といった他の結び目理論における数値とも関連しており、結び目や絡み目の構造を解析するための基本的な道具の一つとして用いられています。

参考文献

C・C・アダムス 著, 金信泰造 訳『結び目の数学』培風館, 1998年
村杉邦男 著『結び目理論とその応用』日本評論社, 1993年
V. V. Prasolov, A. B. Sossinsky, Knots, Links, Braids and 3-Manifolds, Amer Mathematical Society, 1993

関連項目

絡み数
ライジング数
ジョーンズ多項式
* ライデマイスター移動

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