結び目理論

結び目理論

結び目理論は、紐の結び目を数学的に表現し研究する学問であり、低次元位相幾何学の一分野です。組み合わせ的位相幾何学や代数的位相幾何学と深く関連しており、素数と結び目にもエタールホモロジーを導入することで密接な関係が生まれます。

導入

日常で靴紐を結ぶ際に、縦結びや横結びが生じることがありますが、結び目理論では、紐の両端を繋げて輪の形にすることで、これらの結び目が図形としてどのように異なるのか、あるいは同じものなのかを数学的に明らかにします。

一般に、二つの結び目（あるいは絡み目）が同じであるかどうかは、ライデマイスター移動などの局所変形や交差の入れ替えなどの結び目解消操作を用いて調べられます。結び目や絡み目の分類は、結び目不変量 (knot-invariant) あるいは絡み目不変量 (link-invariant) と呼ばれる"量"の発見と構成を主に行われます。例えば、絡み目の外部の基本群を周辺構造 (peripheral structure) 込みで考えたものは、結び目の完全不変量です。

しかし、群の分類が容易ではないため、これを不変量として用いることはほとんどありません。主に使われる不変量はアレクサンダー多項式などの多項式不変量や、結び目解消数 (unknotting number) などです。Haken による正則曲面 (normal surface) の理論により、任意に与えられた 2 個の結び目が同値であるか否かを判定するアルゴリズムが存在することが知られています。

近年では DNA やタンパク質の異性体の構造などの研究や統計力学・場の量子論にも関連して注目されています。結び目は3次元多様体の形状を調べることにも利用できます。同様のことを次元を上げて一般化して考えようとすると、4次元空間では1次元の閉多様体である結び目はほどけてしまって役に立たないが、2次元の多様体である閉曲面を使ってやれば目的を果たすことができます。これを4次元結び目理論、曲面結び目理論などと呼んで結び目理論に含めることもあります。

基本的な図形

一次元球面（単位円周） S1 から三次元ユークリッド空間 R3 または三次元球面 S3への単射連続写像 K あるいは K の像のことを結び目といいます。ここで、三次元球面 S3 とは R3 に、一点 {∞} を付け加えたコンパクト等質空間です。

要するに、三次元空間の中に浮かぶ絡まった 1 つの輪っかのことを数学では結び目というのです。日常語の意味での結び目とはかけ離れているように思われるかもしれませんが、紐の両端をくっつけて結び目を緩めた状態を想像してみると、なぜ上で言うようなものが数学で結び目と呼ばれるのか、実感できることと思われます。

結び目は絡まった輪っか一つだけです。二つ以上の結び目が互いに絡まりあったものを考えたほうがいろいろと便利であることが多いので、それを絡み目と呼びます。正確には結び目と同様に次のように定義されます。

いくつかの一次元球面の集合としての直和 S1 ∪ S1 ∪ … ∪ S1 から 三次元球面 S3 への単射連続写像 L あるいはその像のことを絡み目と呼びます。絡み目の連結成分の数を単に絡み目の成分数と呼びます。すなわち n 個の S1 の直和を埋め込んだ絡み目の成分数は n です。

有名な絡み目としてはホップ絡み目、ホワイトヘッド絡み目、ボロミアン環などが挙げられます。

絡み目を離れた2つの部分に分けることができるとき、その絡み目は分離可能（splittable）であるといい、成分数と同じ数だけの部分に離して分けることができる場合は完全分離可能であるといいます。つまり、絡み目が2つ以上の連結成分のある射影図（#結び目の表示で後述）を持つときに分離可能であるといい、成分数と等しい個数の連結成分のある射影図を持つときは完全分離可能であるということになります。

結び目を切ったり貼ったりしている間に絡み目が現れることがあり、結び目のみを研究の対象とする場合でも絡み目を合わせて考えるほうが自然であることも多いです。

絡み目の定義を少し変形拡張した概念が幾つか提唱され、特に以下のものは活発に研究されています。

組み紐

空間グラフ

タングル

仮想結び目

結び目・絡み目の成分が多辺形となっているとき、その結び目・絡み目は折線状（polygonal）であるといいます。また、結び目・絡み目が折れ線状に表せるとき、その結び目・絡み目は馴れた結び目・絡み目（tame knot/link）または順な結び目・絡み目であるといい、そうでないときは野性的な結び目・絡み目（wild knot/link）であるといいます。結び目理論では、通常は野性的な結び目・絡み目は除外して考えるため、一般的な結び目の表などに記載されているものはすべて馴れた結び目です。結び目を定義した際に使った連続写像 K に対して微分可能という条件をつけておけば自動的に野性的な結び目を排除することができます。

向き付け

結び目には円周を一周する向きにしたがって向きが入ります。一つの結び目には正逆二つの向きを入れることができます。また、それぞれに成分について向きをつけることによって絡み目の向き付けもできます。向きをつけた結び目（絡み目）を、有向結び目（有向絡み目）といいます。

向き付けられた結び目（絡み目）の向きを逆にしても元の結び目（絡み目）と同じになるとき、その結び目（絡み目）は可逆または可反であるといいます。例えば三葉結び目、8の字結び目は可逆となっています。交点数が少ない結び目は可逆のものが多く、交点数が最も小さい非可逆で素な結び目は8交点のものである。

結び目の表示

結び目（絡み目）は三次元空間に浮かんでいますが、これを二次元に射影して二次元の曲線のように表現することができます（ふつうは平面に射影します）。この図式のことを射影図（しゃえいず）または投影図（とうえいず）などといいます。このとき、

結び目（絡み目）の異なる3つ以上の点が、射影面において同一の点に写されない
射影面において2つの成分が1点で接することがない

という条件を満たすように射影することを正則表示（せいそくひょうじ、regular presentation）といいます（どんな結び目や絡み目でも適当に位置をずらすことによって正則表示することができます）。正則表示された結び目の図式を正則図式といい、結び目理論においては単に射影図といえば正則なものをさすことが多いです。

正則図式において、結び目（絡み目）の2箇所の成分が1点に写されているところを交点または交差点といい、奥にある線の上を手前にある線が横切るとき、その交点で奥にある線がちょっと切れているように描けば、線の前後関係を損なうことなく結び目を二次元に射影することができます。

結び目（絡み目）の射影図の中に簡単に取り除ける交点があるとき、それを除去可能な交点または無駄な交点といいます。除去可能な交点を全て取り除いた射影図は既約射影図（きやくしゃえいず）といわれます。

結び目（絡み目）を射影図として図示するほかにも、以下のような表示方法があります。

ドウカーの表示法
コンウェイの表示法
組み紐による表示法

結び目の同値性

位相幾何学では、連続写像を用いて連続的に変形して互いに一致させることができる図形は同相といって、一般に同じものであると考えます。結び目理論も位相幾何学の理論であるから、同様な同一視を行うのですが、しかしいかなる結び目も円周 S1 と同相であるので、同相であるかどうかを見るだけではどんな結び目も区別することはできません。そこで、与えられた結び目が、ある結び目を切ったり貼ったりすることなく連続的に変形していったものと一致するなら、もともと 2 つの結び目は同じであったと考えます。

結び目の合成

三次元球面 S3 の北半球に結び目 K1 、 南半球に結び目 K2 があるとする(共に向き付けられているとする)。K1 の一部と K2 の一部を変形して、両方の結び目が赤道のある一点の十分小さな近傍を通り、かつ赤道と交わらないようにできる。このとき、この近傍の中で結び目の向きにあわせて「紐のつなぎかえ」を行うことで K1 と K2 から一つの結び目ができる。このように、「分離されている二つの結び目から一つの結び目をつくる」操作を結び目の合成といい、できあがった結び目を K1♯K2 と書きます。逆に、合成 K1♯K2 に対して K1、K2を因子と呼びます。合成は「つなぎかえる」点の選び方や、その過程での変形のしかたによらず、結び目そのものに対して決まる。結び目の合成は 連結和、バンド和と呼ばれる操作と同等なものです。

結び目不変量

結び目不変量は、同値な結び目には同じ指標が当てられるようにしたものです。つまり、2 つの結び目が同値なら有限回のライデマイスター移動で移りあうので、結び目不変量はライデマイスター移動の各手順で変わることはありません。簡単な例としては、絡み数や3彩色可能性などがあります。

ただし、逆が成り立つとは限らない。つまり、同じ不変量を持つからといってそれらの結び目が同じかどうかは分かりません。この性質を持つ、つまり不変量の値が同じである結び目たちが常に同値となる不変量は全ての結び目を区別することができ、完全な不変量といいます。

多項式不変量

結び目の不変量で、特に「多項式」となっているものを多項式不変量といいます。多項式不変量の最初の例は、1928年にアレキサンダーが構成したアレクサンダー多項式です。これは絡み目の補空間の基本群から定義できます。

結び目解消操作

ある結び目から自明な結び目へ類似性の連鎖によって関連付けることを、結び目を（一般には切ったり貼ったりを含んだ操作を繰り返して）「ほどく」という過程として表現して結び目解消 (unknotting) という呼称が用いられます。

高次元結び目・絡み目

高次元結び目とは高次元球面Sn一個の高次元・数空間Rmもしくは高次元球面Smへの埋込みのことです。mはnより2以上大きいです。
高次元絡み目とは高次元球面Sn複数個の高次元・数空間Rmもしくは高次元球面Smへの埋込みのことです。
いずれもm=n+2の場合もm>n+2の場合も研究されています。

関連項目

トポロジー
ひも理論
ライデマイスター移動

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