アフィン多様体

アフィン多様体とは、代数幾何学において研究される基本的な図形の一つです。特に、代数的に閉じた体k上のn次元アフィン空間k^nの中で定義されます。

最も具体的な視点では、アフィン多様体は、いくつかのn変数多項式を同時にゼロにする点の集合として捉えることができます。例えば、2変数多項式f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0 の解の集合は、実数体上では円を表しますが、複素数体上ではアフィン多様体（円多様体）となります。

より厳密には、k係数のn変数多項式環 k[x_1, ..., x_n] の素イデアル I を考えます。このイデアル I に属するすべての多項式を同時にゼロにする点 k^n の集合を、I によって定義されるアフィン多様体と呼びます。ここで「素イデアル」という条件は重要で、この条件を外すと、より一般的なアフィン代数的集合と呼ばれるものになります。アフィン多様体は、アフィン代数的集合の中でも「既約」という幾何学的な性質を持つものです。

アフィン多様体 X が素イデアル I によって定義されているとき、多項式環 k[x_1, ..., x_n] をイデアル I で割った商環 k[x_1, ..., x_n] / I は、X の座標環と呼ばれます。この座標環は、ちょうどアフィン多様体 X 上で定義される「正則関数」と呼ばれる特別な関数全体の集合に対応します。正則関数とは、多様体上で多項式として局所的に表される関数のことです。座標環の元の積や和は、多様体上の正則関数の積や和に対応しており、この環構造が多様体の幾何学的な性質を反映しています。

ヒルベルトの零点定理は、アフィン多様体の点と、その座標環の極大イデアルとの間に一対一の対応があることを示しています。この定理は、幾何学的な対象である「点」と、代数的な対象である「イデアル」を結びつける代数幾何学の根幹をなす結果です。

アフィン多様体は、それに付随する「構造層」という概念によって、局所環付き空間としての構造を持ちます。構造層は、多様体の各開集合上で定義される正則関数の環を与えるもので、これにより多様体上の関数の「正則性」という局所的な性質を扱うことができます。また、正則関数が局所的に定義されていれば大域的にも定義される（貼り合わせ可能である）ことも重要な性質です。

アフィン多様体は、そのコホモロジー論的な性質によっても特徴づけられます。セールの定理として知られる重要な結果は、ある代数多様体がアフィンであることと、特定の種類の層（準連接層）について、一次以上のコホモロジー群がすべてゼロになることと同値であると述べています。この性質から、アフィン多様体自体の高次コホモロジーを研究することは通常ありません。これは、コホモロジー論が活発に研究される射影多様体とは対照的です。

代数幾何学におけるより一般的な対象である代数多様体は、しばしばアフィン多様体を「貼り合わせる」ことによって構成されます。この意味で、アフィン多様体は複雑な多様体を理解するための基本的な「局所的な部品」として機能します。接空間や代数的ベクトル束のファイバーといった多様体に自然に付随する線型構造も、アフィン多様体と見なすことができます。

さらに、アフィン多様体はより抽象的なスキーム論の観点から、環のスペクトルとして定義されるアフィンスキームの特殊な場合と位置づけられます。また、複素幾何学においては、正則関数を扱う対象として、アフィン多様体はシュタイン多様体との間に類似性が見られます。

このように、アフィン多様体は多項式方程式の解集合という具体的な形から出発しつつ、座標環や構造層といった代数的な構造、コホモロジー論的な性質、そして他の重要な幾何学的対象との関連性を通して、代数幾何学の中心的な概念の一つとなっています。

アフィン多様体の次元は、その幾何学的な複雑さを表す重要な整数であり、様々な同値な定義が存在します。

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