アルティン相互法則

アルティンの相互法則についての詳細

アルティンの相互法則（英: Artin reciprocity law）は、数論において特に重要な定理です。この定理は、エミール・アルティンによって1924年から1930年にかけて発表された一連の論文の中で確立され、大域類体論の中心的な部分を成しています。相互法則とは、平方剰余の相互法則や他の伝統的な法則を一般化したものであり、数論におけるより具体的な主張と結びついています。

定理の主張

この法則の核心は、特定の大域体Kとそのガロア拡大Lにおいて、Lのイデール類群を使用して大域相互写像が存在することです。この写像は、各素点に対する局所アルティン記号を基に構成される一連の写像として定義されます。具体的には、この写像はKの各素点に対応する局所的な写像の族として表現され、局所類体論の主定理を受け継いでいます。

重要性

アルティンの相互法則は大域体Kの絶対ガロア群のアーベル化を、ハッセの局所・大域原理やフロベニウス元の枠組みを用いて記述するものです。これはKのアーベル拡大の様相を理解するための基本的なツールとなり、数論における深い洞察を提供します。また、この法則は、アルティンのL-函数の有理型であることの証明や、チェボタレフの密度定理の証明にも利用されます。

アルティンは相互法則の出版後、シューアの移送準同型を再発見し、相互法則を用いることで代数体のイデアル類に関する問題を群論の問題として再構築しました。これにより、複雑な数論の問題がより直感的な形で理解されることが可能になりました。

大域体の有限次拡大

アルティンの相互法則は、その具体的な記述において、素イデアルとフロベニウス元を活用します。大域体の素イデアルに対する分解群は、関連するガロア群の性質から、一般に均一な振る舞いを示します。この分解に基づく理論を通じて、アルティン写像は構築され、この映像は分数イデアル群に拡張されます。

特に、定義モジュラスを持つことで、アルティン写像と大域ガロア群との関係が定まります。この関係は、数論の様々な重要な問題を解決するための出発点となります。

例：二次体と円分体

二次体の例として、平方因子を持たない整数を用いた場合、Kを有理数体Qとし、Lを二次体Q(√d)とすると、ガロア群は{±1}に同一視されます。同様に、円分体においては、原始m乗根を用いたLとQの関係式が浮かび上がります。この場合、ガロア群の構造が明確になり、数論的な現象が視覚的に理解できます。

平方剰余の相互法則との関連

アルティン相互法則は、平方剰余の相互法則と興味深い関係を持っています。異なる奇素数に対する二次相互法則を考えることで、これらの構造の下に隠された深い数学的関連性に気づくことができます。

コホモロジー的解釈

この法則のコホモロジー的な証明は、数体に対するガロア群とイデール類群との関係を明らかにすることで達成されます。特に、テイトコホモロジーの枠組みにおいて、この法則の重要な性質を証明する手法が示されます。

L-函数との関係

最後に、アルティンの相互法則はL-函数の視点からも興味深い関連を持っています。数体のアーベル拡大に付随するアルティンのL-函数と、ヘッケのL-函数との関係を示すことにより、数論の問題のより広い理解が進みます。

アルティン相互法則は、数論の深淵な理論を理解するための鍵であり、その影響は現代数学においても色褪せることはありません。

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