円分体

円分体

円分体（えんぶんたい、英: cyclotomic field）とは、有理数体に1のm乗根を追加した代数体のことを指します。このmは2より大きな整数であり、特に
a
\( \zeta
\)は1のm乗根を表しています。円分体は、円体とも呼ばれることもあります。

$$
\zeta_n = e^{2\pi i/n}
$$

のように定義されます。円分体の性質として、任意の整数m（m≥3）に対して、円分体\( Q(\zeta_m) \)の拡大次数はオイラーのφ関数を用いて次のように表されます。

$$
\left[ Q(\zeta_m) : Q \right] = \varphi(m)
$$

一般的に、円分体はガロア拡大体であり、ガロア群はアーベル群です。さらに、mを素因数分解すると、

$$
m = p_1^{e_1} \cdots p_r^{e_r}
$$

となります。このとき、円分体\( Q(\zeta_m) \)は以下の合成体の形をとります。

$$
Q(\zeta_{p_1^{e_1}}), \ldots, Q(\zeta_{p_r^{e_r}})
$$

また、ガロア群は次のように構成されます。

$$
Gal\left( Q(\zeta_m) / Q \right) \cong (\mathbb{Z} / m \mathbb{Z})^{\times} \cong (\mathbb{Z} / p_1^{e_1} \mathbb{Z})^{\times} \times \cdots \times (\mathbb{Z} / p_r^{e_r} \mathbb{Z})^{\times}
$$

円分体には、その部分体との関係があり、有理素数\( p_1, \ldots, p_r \)の中で分岐が発生します。円分体\( Q(\zeta_m) \)と実数体との交わりは以下のようになります。

$$
Q(\zeta_m) \cap \mathbb{R} = Q(\zeta_m + 1/\zeta_m)
$$

この円分体の最大実部分体、または実円分体とも知れています。

円分体は一意分解整域として考えることができ、特にmが特定の値を取るときに特定の性質が示されます。たとえば、mが以下の場合には一意分解整域となります。

• - 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84

23以上の素数に対しては、一意分解整域にはならないことが知られています。また、類数が2である円分体はmが39または56であるときだけです。

アーベル拡大体に関するクロネッカー＝ウェーバーの定理によれば、有理数体上のアーベル拡大体は、あるmが存在して、

$$
K \subset Q(\zeta_m)
$$

が成立します。具体的には、二次体がアーベル拡大体となるため、円分体の構造が整数論に関連し、特にフェルマーの最終定理に影響を与えます。

また、円分体の類数に関する公式の中で、第1因子および第2因子が考慮されます。
このように、円分体は数論や代数理論において非常に重要な役割を果たす分野であり、様々な研究の対象となっています。

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