ウィグナー分布

ウィグナー分布

ウィグナー分布（Wigner distribution function, WDF）は、主に信号処理の分野で使用される時間周波数解析の手法です。この概念は1932年にユージン・ウィグナーによって提案され、量子力学と古典統計力学の交点で非常に重要な役割を果たしています。ウィグナー分布は、信号の時間および周波数の両方の情報を同時に表現することが可能です。

ウィグナー分布の基盤となる理論は、信号の位置と運動量の関係を時間と周波数の関係に類推するところから始まります。これにより、ウィグナー分布は信号処理技術の中で独自の位置を確立しています。特に、ガボール変換や短時間フーリエ変換に比べて、ウィグナー分布はより明瞭な結果を出すことがあるため、幅広い応用が期待されます。

数学的定義

ウィグナー分布には複数の数学的定義がありますが、ここでは時間周波数解析に特化した定義を紹介します。まず、自己相関関数を用いて、時系列信号 x[t] の様々な時間点における相関を以下のように表現します。

$$
C_x(t_1, t_2) = \langle (x[t_1] - \mu[t_1])(x[t_2] - \mu[t_2])^* \rangle,
$$

ここで、⟨・⟩は全ての可能なプロセスを統合した平均値を示し、μ(t)は平均値を表します。この自己相関関数に基づいて、ウィグナー分布 W_x(t, f) は次のように計算されます。

$$
W_x(t, f) = \int_{-\infty}^{\infty} C_x\left(t + \frac{\tau}{2}, t - \frac{\tau}{2}\right)e^{-2\pi i \tau f} d\tau.
$$

ウィグナー分布の動機と利点

ウィグナー分布を使用する主な理由は、定常過程においてはすべての時間に対してスペクトル密度関数に帰着し、非定常過程においては自己相関関数と一致することです。これにより、ウィグナー分布を利用することで、信号のスペクトル密度が時間とともにどのように変化するかを視覚的に把握することができます。特に以下のような信号解析のケースが考えられます。

定常入力信号

入力信号が一定の場合、その時間周波数分布は時間軸に沿った水平線として現れます。たとえば、 x(t) = 1 の場合、ウィグナー分布は、

$$
W_x(t, f) = \delta(f).
$$

正弦波信号

入力信号が正弦波である場合、その時間周波数分布は、周波数の位置に合わせて水平にシフトした線になります。たとえば、x(t) = e^{i2\pi k t} の場合は、

$$
W_x(t, f) = \delta(f - k).
$$

チャープ信号

チャープ信号では、瞬間周波数が時間に応じて変化し、直線になめらかな時間周波数分布が得られます。この信号のウィグナー分布は、次のようになります。

$$
W_x(t, f) = \delta(f - 2kt).
$$

デルタ関数

入力信号がデルタ関数である場合、そのウィグナー分布は特異な性質を持ち、原点を中心に全周波数成分を含むことから非常に重要です。

ウィグナー分布の交差項の性質

ウィグナー分布は線形変換ではないため、異なる周波数成分からの交差項が生じることがあります。これにより、信号の複雑さが増します。対照的に、短時間フーリエ変換ではこのような交差項は現れません。この交差項に関しても、さまざまな修正手法や新たな変換が提案されています。

結論

ウィグナー分布は信号の時間周波数解析において、理論的にも実用的にも豊かな洞察を提供します。多様な信号に対してその特性を理解すれば、時間周波数の解析において更なる応用が広がります。

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