スペクトル密度

スペクトル密度：信号の周波数特性を解き明かす

スペクトル密度は、信号のエネルギーやパワーが周波数にわたってどのように分布しているかを表す重要な概念です。定常過程（時間とともに統計的性質が変化しない過程）における周波数特性を解析する際に広く用いられ、パワースペクトル密度（PSD）とエネルギースペクトル密度（ESD）の2種類が主要です。本稿では、スペクトル密度の定義、計算方法、特性、そして様々な分野における応用について詳しく解説します。

エネルギースペクトル密度 (ESD)

ESDは、信号が持つ全エネルギーが各周波数にどのように分配されているかを示す指標です。パルス状の信号など、有限のエネルギーを持つ信号の解析に適しています。

連続信号の場合:

連続信号 f(t) のESDは、そのフーリエ変換 F(ω) を用いて以下のように定義されます。

ω：角周波数
F(ω)：f(t)のフーリエ変換
F(ω)：F(ω)の複素共役

`1/(2π) |F(ω)|²`

この式は、信号のエネルギーが周波数ωにおいてどのように集中しているかを示しています。

離散信号の場合:

離散信号 f_n のESDは、離散時間フーリエ変換 F(ω) を用いて同様の方法で定義されます。サンプリング間隔 dt を考慮することで、連続信号の場合との対応関係を明確にできます。

パワースペクトル密度 (PSD)

PSDは、定常的な信号（例えば、ノイズ）のパワーが周波数にわたってどのように分布しているかを表す指標です。信号の強さを時間平均したものをパワーと定義します。

定義:

PSDは、信号のフーリエ変換の大きさの2乗の期待値（時間平均）として定義されます。長時間平均を取ることで、信号のランダムな変動の影響を軽減し、真の周波数特性を抽出します。確率的な信号に対しては、フーリエ変換の二乗値の期待値を求めることでPSDを推定します。

ウィーナー・ヒンチンの定理:

PSDと信号の自己相関関数 R(τ) はフーリエ変換対の関係にあり、この関係はウィーナー・ヒンチンの定理として知られています。この定理を用いることで、時間領域の情報から周波数領域の情報へ、またはその逆に変換することができます。

計算方法:

PSDは、信号のフーリエ変換、自己相関関数、ピリオドグラムなど様々な手法を用いて推定されます。実用上は、測定結果を複数回平均化することでノイズの影響を低減し、より正確な推定を行うことが一般的です。

スペクトル密度の特性

スペクトル密度は以下の重要な特性を持ちます。

対称性: 多くの物理過程で、スペクトルは周波数0を軸に対称となります。
連続性と微分可能性: 連続で微分可能な関数であることが多いです。
分散との関係: 信号の分散はPSDの積分によって求められます。
線形性: 自己共分散関数が線形結合で表される場合、PSDも同様の線形結合で表されます。

スペクトル密度の推定

スペクトル密度は、様々な推定方法を用いて推定されます。パラメトリック推定では、自己回帰モデルなどの統計モデルを用いてスペクトルを推定します。非パラメトリック推定では、ピリオドグラム法などが用いられます。

スペクトル密度の応用

スペクトル密度は、様々な分野で活用されています。

電子工学:

電子通信システム、信号処理、ノイズ解析などで重要な役割を果たします。スペクトラムアナライザは、信号のPSDを測定、表示する機器として広く利用されています。

測色法:

光のスペクトルは、色を解析する上で不可欠な情報です。分光測色器を用いることで、光のスペクトル密度を精密に測定できます。

その他の分野:

地震学、音声処理、画像処理、医療診断など、幅広い分野でスペクトル密度は重要な役割を果たしています。

まとめ

スペクトル密度は、信号の周波数特性を理解する上で非常に重要な概念であり、様々な分野で応用されています。本稿では、その基礎から応用までを網羅的に解説しました。より深く理解するためには、フーリエ変換、確率過程、信号処理に関する知識が役立ちます。

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