ウィグナー半円分布

ウィグナー半円分布

ウィグナー半円分布（英: Wigner semicircle distribution）は、ハンガリー出身のノーベル賞物理学者ユージン・ウィグナーの名前を冠した、連続確率分布の一種です。

この分布は、正のパラメータ $R$ を持ち、閉区間 $[-R, R]$ を定義域とします。その確率密度関数は、中心が $(0, 0)$ で半径が $R$ の半円を、確率分布として成り立つように正規化した形状をしており、以下の数式で表されます。

$$ f(x) = \begin{cases} \dfrac{2}{\pi R^2} \sqrt{R^2 - x^2} & \text{if } |x| \leq R \[1ex] 0 & \text{if } |x| > R \end{cases} $$

この関数が描くグラフは、実際には縦軸方向に引き伸ばされた半楕円の形となります。

ウィグナー半円分布の最も特筆すべき性質は、ウィグナーの半円則（Wigner semicircle law）として知られています。これは、非常にサイズの大きなランダム行列（成分がランダムな数である行列）の固有値の分布が、行列のサイズを無限に大きくする極限において、このウィグナー半円分布に収束するという重要な法則です。この法則は、統計物理学、数理物理学、確率論など、多岐にわたる分野で応用されています。

分布の基本的な性質として、原点 $(0, 0)$ を中心とした対称な形状を持つことから、期待値、中央値、最頻値のすべてが 0 となります。

この分布や半円則に関するより詳細な内容は、ランダム行列理論の専門書などで詳しく解説されています。

参考文献

永尾太郎 『ランダム行列の基礎』 東京大学出版会 (2005)
四辻哲章 『計算機シミュレーションのための確率分布乱数生成法』 プレアデス出版 (2010)

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