ウィーナー＝ヒンチンの定理

ウィーナー＝ヒンチンの定理

ウィーナー＝ヒンチンの定理は、確率過程に関連する重要な数学的原理であり、特に自己相関関数とパワースペクトル密度との間に存在する深い関係を示しています。この定理は、自己相関関数のフーリエ変換が対応するパワースペクトル密度であることを明らかにします。これは、信号解析、通信工学、その他の応用分野において非常に重要です。

定義と特性

この定理は、連続確率過程と離散確率過程の両方に適用されます。連続確率過程の場合、信号 x(t) のパワースペクトル密度 S_{xx}(f) は、自己相関関数 r_{xx}(τ) のフーリエ変換として定義されます。具体的には、以下の式で表現されます:

$$ S_{xx}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} r_{xx}(\tau) e^{-j2\pi f \tau} d\tau $$

ここで、自己相関関数 r_{xx}(τ) は、統計的期待値によって定義され、次のように表されます:

$$ r_{xx}(\tau) = E[x(t) x^{}(t-\tau)] $$

この定義におけるアスタリスクは複素共役を示し、信号が実数値である場合には省略されることがあります。

一方、離散確率過程では、信号の離散値 x[n] に基づいて、パワースペクトル密度 S_{xx}(f) は次のように定義されます:

$$ S_{xx}(f) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} r_{xx}[k] e^{-j2\pi fk} $$

ここで、自己相関関数 r_{xx}[k] は次のように定義されます:

$$ r_{xx}[k] = E[x[n] x^{}[n-k]] $$

なお、離散信号の場合、パワースペクトル密度は周波数領域での周期性を持っています。これはサンプリング定理によって管理されています。

応用

ウィーナー＝ヒンチンの定理の重要な応用の一つは、信号処理における自己相関関数のフーリエ変換が、信号のパワースペクトル密度に等しいことから導かれます。これは、出力のパワースペクトル密度が、入力のパワースペクトル密度にパワー伝達関数をかけた結果に等しいということを意味します。

また、線型時不変システム（LTIシステム）の解析にも利用されます。出力が二乗可積分でない場合でも、この定理を使用して、出力のパワースペクトル密度をシステムのインパルス応答のフーリエ変換の平方と入力のパワースペクトル密度の積として表現できます。この関係は、システムの特性を予測する手助けとして広く用いられています。

その他の観点

定義において用いられる無限積分は、ウィーナー＝ヒンチンの定理が単純なフーリエ変換の対であることを示しています。この定理は、フーリエ変換の存在しない信号に適用され、自己相関関数が期待値を使って定義されることが多く見られます。ただし、工学の文脈でこの形式が一般的ですが、元の理論的貢献者であるヒンチン、ウィーナー、コルモゴロフの名前があまり知られなくなってしまうことがあります。

このように、ウィーナー＝ヒンチンの定理は、信号処理や通信理論において欠かせない基礎を成しています。

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