ウッダル数

ウッダル数とは

ウッダル数（英: Woodall number）は、自然数の一種で、数式としては n × 2n − 1 の形をしています。通常、これを Wn と呼びます。この数の研究は1917年に始まり、アラン・カニンガムとハーバート・ウッダルによって行われました。彼らは、同時期にジェームズ・カレンが研究していたカレン数にインスパイアされ、その類似性をもとにウッダル数に関する研究を進めました。

ウッダル数の列

最初の数値としては以下のような列が存在します。

1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, … これらの数値は、オンライン整数列大辞典では数列 A003261 として登録されています。

基本的な性質

ウッダル数にはいくつかの興味深い数学的性質があります。特に注目すべきは、整除性に関する性質です。ウッダル数は、カレン数と同じようにいくつかの整除性を満たします。具体例を挙げると、素数 p に対して次の条件が成り立ちます。

1. ヤコビ記号
\(
\left(\frac {2}{p}\right)
\)
が +1 の場合、
\(
p \mid W_{(p+1)/2}
\)
が成立します。

2. ヤコビ記号
\(
\left(\frac {2}{p}\right)
\)
が −1 の場合、
\(
p \mid W_{(3p-1)/2}
\)
が成立します。

このように、ウッダル数は整除性に関して興味深い特徴を持っています。

ウッダル素数

ウッダル素数（英: Woodall prime）は、ウッダル数の中でも素数となるものです。具体的には、次の数値がウッダル素数として知られています。

7, 23, 383, 32212254719,… これらの数値は、オンライン整数列大辞典の数列 A050918 に登録されています。ウッダル素数に対応する指数部にあたる p の値はこちらの数列に示されています。

p = 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, … この指数に基づいて、ウッダル素数の研究が進められています。

最も大きなウッダル素数

2018年1月時点で知られている最大のウッダル素数は、2008年に分散コンピュータプロジェクトのPrimeGridにより発見されたもので、1,129,757桁の整数 3752948×23752948 − 1 です。この発見は、ウッダル数とその特性に関する研究をさらに加速させるものでした。

関連項目

ウッダル数の他にも、カレン数（n × 2n + 1 の形の自然数）との関係があり、数学的な興味を引きつけています。これらの数の性質を探求することは、数論の重要な側面の一つであり、さらなる研究が期待されます。

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