カレン数

カレン数とカレン素数について

カレン数（カレンすう、Cullen number）とは、自然数の一種で、特定の形状で表されます。その形式は、数式 n × 2n + 1 で、通常は Cn という記号で示されます。この名称は、アイルランドの数学者ジェームズ・カレンが1905年に行った研究に由来しています。彼の研究によって、カレン数は数学の一分野において重要な役割を果たすようになりました。

最初の数個のカレン数には、次のような数字が含まれます。これらの数字は、カレン数として認識されています。

このカレン数の一般的な表現は、n × bn + 1 という形で、更に特化したバリエーションには n × 2n − 1 の形式があり、これは第2種カレン数またはウッダル数と称されます。

カレン素数の特徴

カレン数の中で素数であるものをカレン素数と呼びます。驚くべきことに、ほとんどのカレン数は合成数である一方で、カレン素数は無数に存在する可能性があると考えられています。具体的には、以下の16の n に対して、Cnが素数であることが確認されています。1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881。

このリストの中で、1 を除くすべては合成数であり、Cp がカレン素数になる素数 p の存在については現在まだ不明です。

カレン素数の探索は、2009年には分散コンピューティングプロジェクトであるPrimeGridによって行われ、これが重要な役割を果たしています。特に、15番目のカレン素数である C6328548 は2009年4月に発見され、そして16番目のカレン素数 C6679881 はそれから僅か4ヶ月後の8月に見つかりました。この16番目のカレン素数の桁数は驚異的な2010852桁であり、当時知られていた中では15番目に大きな素数となりました。

素数判定方法

カレン数の素数かどうかを判定するためには、リュカ＝レーマー＝リーゼルの判定法（LLR）が非常に有効です。PrimeGridではこの手法を活用して、カレン数を効率的に評価しています。さらに、カレン数の整除性に関するいくつかの重要な事実が知られており、これらを適用することでカレン素数の探索を効率化することが可能です。

具体的には、p が形 8k ± 5 の素数の場合、p は C(p+1)/2 を割り切ります。また、p が形 8k ± 1 のときには、p は C(3p−1)/2 を割り切ります。それに加え、任意の奇素数 p に対して、m(k) = (2k − k)(p − 1) − k と置くと、k の非負整数に対して、p は Cm(k) を割り切ることが知られています。特に、k=0,1 での価値を用いると、p は Cp−1 および Cp−2 を割り切ります。

一般カレン数の定義

一般カレン数は n × bn + 1 という形式で表現され、具体的にはさまざまな値で計算されます。これにより、一般カレン数も研究の対象となり、数学におけるさらなる発展が期待されています。カレン数やカレン素数の性質についての研究は、数論の興味深い領域の一つであり、今後も多くの研究者が関与し続けることでしょう。

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