エキゾチック R4

エキゾチックR⁴

エキゾチックR⁴とは、4次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}^4$ と位相的には同じ形（同相）をしていますが、その「滑らかさ」、つまり微分可能な構造においては異なっている（微分同相ではない）特別な4次元可微分多様体のことを指します。

この驚くべき数学的対象が最初に発見されたのは1982年のことです。数学者のマイケル・フリードマンらは、位相的な4次元多様体に関する自身の画期的な定理と、微分可能な4次元多様体の振る舞いに関するサイモン・ドナルドソンによる研究成果を比較対照することで、エキゾチックR⁴の存在を明らかにしました。これは、4次元空間が他の次元とは異なる特異な性質を持つことを示す重要な発見でした。

さらに、クリフォード・タウベスは、$\mathbb{R}^4$ にはこのような互いに微分同相でない異なる滑らかな構造が連続体（無限に多数）存在することを示しました。

このようなエキゾチックな構造の存在が明らかになる以前から、球面上にも標準的なものとは微分同相でない滑らかな構造（エキゾチック球面）が存在することは知られていました。しかし、4次元の球面、いわゆる4次元球体におけるエキゾチックな構造の存在については、2022年現在も未解決の難問として残されています。一方、4以外の任意の正の整数 $n$ に対しては、$\mathbb{R}^n$ と同相である滑らかな多様体は、必ず通常の$\mathbb{R}^n$ と微分同相であることが証明されています。これは、エキゾチックな滑らかな構造が4次元特有の現象であることを強く示唆しています。

エキゾチックR⁴は、標準的な$\mathbb{R}^4$ との関係によっていくつかの種類に分類されます。

小さなエキゾチックR⁴

標準的な$\mathbb{R}^4$ の開部分集合として、滑らかな写像によって埋め込むことができるエキゾチックR⁴は「小さい」と呼ばれます。小さなエキゾチックR⁴の構築には、5次元空間における非自明な滑らかなh-コボルディズム（これはドナルドソンの定理によって存在が保証されています）と、4次元における位相的なh-コボルディズムの定理（フリードマンの定理によって成り立ちます）が用いられます。

大きなエキゾチックR⁴

対照的に、標準的な$\mathbb{R}^4$ の開部分集合として滑らかに埋め込むことができないエキゾチックR⁴は「大きい」と呼ばれます。大きなエキゾチックR⁴の例は、コンパクトな4次元多様体が位相的には単純な構成要素の和として分解できても（フリードマンの結果）、微分可能構造を考慮すると分解できない場合がある（ドナルドソンの結果）という、位相と微分の違いを利用して構築されます。

マイケル・フリードマンとローレンス・テイラーは1986年に、他の全ての$\mathbb{R}^4$ とは異なるエキゾチックR⁴を、開部分集合として滑らかに含むことができる「最大の」エキゾチックR⁴が存在することを示しました。

関連する構造

エキゾチックR⁴と関連して、カッソンハンドルと呼ばれる構造も知られています。カッソンハンドルは、位相的には $\mathbb{D}^2 \times \mathbb{R}^2$ （2次元円盤と2次元空間の直積）と同相ですが、ドナルドソンの定理によれば、全てが $\mathbb{D}^2 \times \mathbb{R}^2$ と微分同相になるわけではありません。これは、一部のカッソンハンドルがエキゾチックな $\mathbb{D}^2 \times \mathbb{R}^2$ と見なせることを意味します。

これらの発見は、4次元空間の幾何学的・位相的構造が持つ複雑さと奥深さを示しており、現代数学の重要な研究テーマの一つとなっています。

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